Dimostrazione sin x /x non appartiene a L1
Ciao,
qualcuno può spiegarmi come fare a dimostrare che la funzione $ sin x/x $ non appartiene allo spazio L1, e che quindi $ int_(-oo)^(oo) |sinx|/|x| $ diverge?
Grazie.
qualcuno può spiegarmi come fare a dimostrare che la funzione $ sin x/x $ non appartiene allo spazio L1, e che quindi $ int_(-oo)^(oo) |sinx|/|x| $ diverge?
Grazie.
Risposte
Non mi risulta che diverga.
Non mi risulta che diverga.
è perché ci va il modulo
Ok. Quindi quell'integrale non è assolutamente convergente. Onestamente non lo ricordavo.
Per dimostrare la divergenza di $int_(0)^(+oo) |sin t|/t dt$ puoi sfruttare il fatto che l'integranda è periodica, e quindi ricondurti ad una serie numerica con lo stesso carattere della serie armonica.
Io so che la funzione $sin x/x$ non appartiene a L1 ma appartiene a L2. Come posso dimostrarlo?
P.S. Ma come mai mettete il valore assoluto al $sin x$?
P.S. Ma come mai mettete il valore assoluto al $sin x$?
Io non so nemmeno cosa vuol dire appartenere a L1 o L2, so solo che l'integrale improprio che hai scritto tu è convergente, quello che ho scritto io invece diverge.
Se $f(x)$ appartiene a $L^1$ deve essere assolutamente integrabile.
"Giuly19":
Io non so nemmeno cosa vuol dire appartenere a L1 o L2, so solo che l'integrale improprio che hai scritto tu è convergente, quello che ho scritto io invece diverge.
Scusate, affinchè sia L1 serve che appunto che l'integrale del valore assoluto della funzione sia convergente.
L'integrale corretto è :
$ int_(-oo)^(oo) |sinx|/|x| $
Quindi come posso dimostrare che quell'integrale diverge?
Grazie ancora.
Ehm, il mio primo messaggio l'hai letto? O.o
"Giuly19":
Per dimostrare la divergenza di $int_(0)^(+oo) |sin t|/t dt$ puoi sfruttare il fatto che l'integranda è periodica, e quindi ricondurti ad una serie numerica con lo stesso carattere della serie armonica.
"Giuly19":
Ehm, il mio primo messaggio l'hai letto? O.o
Si letto, potresti darmi qualche dritta in più??? non so come impostare il tutto.
Qui ho trovato una risposta in inglese ma non ci capisco molto...http://www.physicsforums.com/archive/in ... 01694.html
Senza ombra di dubbio sei interessato a questo. Io non ricordo il procedimento ma qualcuno ti ha già dato un'indicazione. In ogni modo, non dovrebbe essere difficile trovare una dimostrazione.
Considera $int_(npi)^((n+1)pi) |sint|/t dt $ e facci una bella serie. Praticamente l'elemento $a_n$ della serie che dovrai avere è l'area sottesa ad un archetto che fa la funzione.
"Giuly19":
Considera $int_(npi)^((n+1)pi) |sint|/t dt $ e facci una bella serie. Praticamente l'elemento $a_n$ della serie che dovrai avere è l'area sottesa ad un archetto che fa la funzione.
$sum int_(npi)^((n+1)pi) |sint|/t dt$ con n=-oo a n=oo così?
L'idea è quella. Dovrebbe essere vero anche questo:
$int_(npi)^((n+1)pi) |sint|/t dt >= (int_(npi)^((n+1)pi) |sint|dt)/((n+1)pi)$.
$int_(npi)^((n+1)pi) |sint|/t dt >= (int_(npi)^((n+1)pi) |sint|dt)/((n+1)pi)$.
Più visivamente si può ragionare così.
Consideriamo il grafico dell'integrando [tex]\frac{|\sin x|}{x}[/tex] per [tex]$x\geq \pi$[/tex]: evidentemente tale grafico si compone di tanti archi concavi, mei quali è possibile inscrivere dei triangoli aventi base di lunghezza [tex]$\pi$[/tex] ed altezza [tex]\approx \frac{1}{x_n}[/tex], con [tex]$x_n\in [n\pi, (n+1)\pi]$[/tex] punto di massimo locale ed [tex]$n$[/tex] suffcientemente grande*:
[asvg]xmin=0;xmax=15; ymin=0;ymax=0.3;
axes("","");
plot("(abs(sin(x)))/x",3.14,16);
stroke="red"; fill="yellow"; path([[4.48,0.218],[3.14,0],[6.27,0],[4.48,0.218]]); path([[7.73,0.129],[6.27,0],[9.41,0],[7.73,0.129]]);
path([[10.9,0.092],[9.41,0],[12.6,0],[10.9,0.092]]); path([[12.6,0],[14.1,0.071],[15.7,0],[12.6,0]]);[/asvg]
Conseguentemente per [tex]$M < N$[/tex] fissati abbastanza grandi si ha:
[tex]$\int_{M\pi}^{(N+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x \approx \sum_{n=M}^{N} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n}$[/tex]
con la somma a secondo membro che rappresenta l'area totale degli [tex]$N - M$[/tex] triangolini costruiti come detto in precedenza; ergo, passando al limite per [tex]$N \to +\infty$[/tex], si ottiene:
[tex]$\int_{M\pi}^{+\infty } \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x \geq \sum_{n=M}^{+\infty} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n}$[/tex]
e basta stabilire che la serie a secondo membro è divergente per ottenere la divergenza dell'integrale.
Ma, per costruzione, si ha [tex]$n\pi < x_n < (n+1)\pi$[/tex], quindi:
[tex]$\sum_{n=M}^{+\infty} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n} \geq \sum_{n=M}^{+\infty} \frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)}$[/tex]
e la divergenza della serie segue dalla divergenza della serie armonica.
P.S.: Ero certo di aver già scritto di questa cosa, ma non ho trovato il vecchio post...
__________
* I punti di massimo si trovano in corrispondenza delle soluzioni dell'equazione [tex]$x=\tan x$[/tex]; si può dimostrare che in ogni intervallo del tipo [tex][-\frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi][/tex] cade esattamente un'unica soluzione di tale equazione, diciamola [tex]$x_n$[/tex], e che [tex]x_n\approx \frac{\pi}{2}+n\pi[/tex] per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande.
Consideriamo il grafico dell'integrando [tex]\frac{|\sin x|}{x}[/tex] per [tex]$x\geq \pi$[/tex]: evidentemente tale grafico si compone di tanti archi concavi, mei quali è possibile inscrivere dei triangoli aventi base di lunghezza [tex]$\pi$[/tex] ed altezza [tex]\approx \frac{1}{x_n}[/tex], con [tex]$x_n\in [n\pi, (n+1)\pi]$[/tex] punto di massimo locale ed [tex]$n$[/tex] suffcientemente grande*:
[asvg]xmin=0;xmax=15; ymin=0;ymax=0.3;
axes("","");
plot("(abs(sin(x)))/x",3.14,16);
stroke="red"; fill="yellow"; path([[4.48,0.218],[3.14,0],[6.27,0],[4.48,0.218]]); path([[7.73,0.129],[6.27,0],[9.41,0],[7.73,0.129]]);
path([[10.9,0.092],[9.41,0],[12.6,0],[10.9,0.092]]); path([[12.6,0],[14.1,0.071],[15.7,0],[12.6,0]]);[/asvg]
Conseguentemente per [tex]$M < N$[/tex] fissati abbastanza grandi si ha:
[tex]$\int_{M\pi}^{(N+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x \approx \sum_{n=M}^{N} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n}$[/tex]
con la somma a secondo membro che rappresenta l'area totale degli [tex]$N - M$[/tex] triangolini costruiti come detto in precedenza; ergo, passando al limite per [tex]$N \to +\infty$[/tex], si ottiene:
[tex]$\int_{M\pi}^{+\infty } \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x \geq \sum_{n=M}^{+\infty} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n}$[/tex]
e basta stabilire che la serie a secondo membro è divergente per ottenere la divergenza dell'integrale.
Ma, per costruzione, si ha [tex]$n\pi < x_n < (n+1)\pi$[/tex], quindi:
[tex]$\sum_{n=M}^{+\infty} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n} \geq \sum_{n=M}^{+\infty} \frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)}$[/tex]
e la divergenza della serie segue dalla divergenza della serie armonica.
P.S.: Ero certo di aver già scritto di questa cosa, ma non ho trovato il vecchio post...
__________
* I punti di massimo si trovano in corrispondenza delle soluzioni dell'equazione [tex]$x=\tan x$[/tex]; si può dimostrare che in ogni intervallo del tipo [tex][-\frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi][/tex] cade esattamente un'unica soluzione di tale equazione, diciamola [tex]$x_n$[/tex], e che [tex]x_n\approx \frac{\pi}{2}+n\pi[/tex] per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande.
[OT] @Gugo: Pure io mi ricordo bene una discussione uguale a questa, con analogo interventone tuo completo di grafico full-optional. Certo che hai una pazienza biblica, a scrivere post così. E poi secondo me, a disegnare con ASCIISVG sei più bravo tu dei programmatori dello script! Grande!
@gugo82 Uau, è la stessa dimostrazione a cui sono giunto qualche giorno fà! La stavo per scrivere in aiuto a pmic, ma mi hai preceduto. 
Peccato che i disegni non li sappia fare, manco col PC. 
Peccato che i disegni non li sappia fare, manco col PC.
"gugo82":
altezza [tex]\approx \frac{1}{x_n}[/tex]
Ma quale dimostrazione!
E' una dimostrazione approssimata, o l'approssimazione di una dimostrazione
"gugo82":
Più visivamente si può ragionare così.
Consideriamo il grafico dell'integrando [tex]\frac{|\sin x|}{x}[/tex] per [tex]$x\geq \pi$[/tex]: evidentemente tale grafico si compone di tanti archi concavi, mei quali è possibile inscrivere dei triangoli aventi base di lunghezza [tex]$\pi$[/tex] ed altezza [tex]\approx \frac{1}{x_n}[/tex], con [tex]$x_n\in [n\pi, (n+1)\pi]$[/tex] punto di massimo locale ed [tex]$n$[/tex] suffcientemente grande*:
[asvg]xmin=0;xmax=15; ymin=0;ymax=0.3;
axes("","");
plot("(abs(sin(x)))/x",3.14,16);
stroke="red"; fill="yellow"; path([[4.48,0.218],[3.14,0],[6.27,0],[4.48,0.218]]); path([[7.73,0.129],[6.27,0],[9.41,0],[7.73,0.129]]);
path([[10.9,0.092],[9.41,0],[12.6,0],[10.9,0.092]]); path([[12.6,0],[14.1,0.071],[15.7,0],[12.6,0]]);[/asvg]
Conseguentemente per [tex]$M < N$[/tex] fissati abbastanza grandi si ha:
[tex]$\int_{M\pi}^{(N+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x \approx \sum_{n=M}^{N} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n}$[/tex]
con la somma a secondo membro che rappresenta l'area totale degli [tex]$N-M$[/tex] triangolini costruiti come detto in precedenza; ergo, passando al limite per [tex]$N\to +\infty$[/tex], si ottiene:
[tex]$\int_{M\pi}^{+\infty } \frac{|\sin x|}{x}\ \text{d} x \geq \sum_{n=M}^{+\infty} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n}$[/tex]
e basta stabilire che la serie a secondo membro è divergente per ottenere la divergenza dell'integrale.
Ma, per costruzione, si ha [tex]$n\pi < x_n < (n+1)\pi$[/tex], quindi:
[tex]$\sum_{n=M}^{+\infty} \frac{\pi}{2}\frac{1}{x_n} \geq \sum_{n=M}^{+\infty} \frac{1}{2}\frac{1}{(n+1)}$[/tex]
e la divergenza della serie segue dalla divergenza della serie armonica.
P.S.: Ero certo di aver già scritto di questa cosa, ma non ho trovato il vecchio post...
__________
* I punti di massimo si trovano in corrispondenza delle soluzioni dell'equazione [tex]$x=\tan x$[/tex]; si può dimostrare che in ogni intervallo del tipo [tex][-\frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2}+n\pi][/tex] cade esattamente un'unica soluzione di tale equazione, diciamola [tex]$x_n$[/tex], e che [tex]x_n\approx \frac{\pi}{2}+n\pi[/tex] per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande.
Ciao,
prima di tutto grazie a tutti per l'aiuto.
Perchè dal primo al secondo passaggio il circa uguale diventa maggiore uguale?
Grazie di nuovo.
Lo vedi dal grafico, le aree dei triangoli approssimano quelle delle onde della curva dal basso, cioè ogni triangolo giallo ha area minore della curva che sottende.
Paola
Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo