Dimostrazione serie e successioni
Devo dimostrare il seguente teoremino:
sia ${a(n)}$ una successione tale che $lim_n a(n) = a$
allora $lim_N 1/N sum_(n=0)^(N-1) a(n) = a$
qualcuno mi da qualche imput?? (o se riesce a dimostrarmelo direttamente è meglio
)
sia ${a(n)}$ una successione tale che $lim_n a(n) = a$
allora $lim_N 1/N sum_(n=0)^(N-1) a(n) = a$
qualcuno mi da qualche imput?? (o se riesce a dimostrarmelo direttamente è meglio
)
Risposte
"Cantaro86":
Devo dimostrare il seguente teoremino:
sia ${a(n)}$ una successione tale che $lim_n a(n) = a$
allora $lim_N 1/N sum_(n=0)^(N-1) a(n) = a$
qualcuno mi da qualche imput?? (o se riesce a dimostrarmelo direttamente è meglio
Semplice:
devi dimostrare che
$| \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} a_n - a | \rightarrow 0 $.
Se scrivi il termine $-a$ dentro il valore assoluto come
$-a = - \frac{1}{N} (N \cdot a)$
il gioco è finito perché puoi scrivere
$\frac{1}{N} \cdot | \sum_{n=0}^{N-1} (a_n - a) | \leq \frac{1}{N} \cdot \sum_{n=0}^{N-1} | a_n - a| \rightarrow 0$ .
Francesco Daddi
a grazie...
ma quando arrivo all'ultimo passaggio come faccio ad avere la certezza che il limite sia 0???
mi spiego:
il dubbio mi è venuto dal fatto che $ lim_N sum_(n=0)^(N-1) |a_n-a| $ non sempre è finito...(basta prendere $a_n=1/n$ )
nell'esempio $a_n=1/n$ ottengo dunque una forma indeterminata $ lim_N 1/N sum_(n=0)^(N-1) |1/n| = infty/infty$ in questo caso so gia che il limite vale 0...
ma per dimostrarlo in caso generale???
ma quando arrivo all'ultimo passaggio come faccio ad avere la certezza che il limite sia 0???
mi spiego:
il dubbio mi è venuto dal fatto che $ lim_N sum_(n=0)^(N-1) |a_n-a| $ non sempre è finito...(basta prendere $a_n=1/n$ )
nell'esempio $a_n=1/n$ ottengo dunque una forma indeterminata $ lim_N 1/N sum_(n=0)^(N-1) |1/n| = infty/infty$ in questo caso so gia che il limite vale 0...
ma per dimostrarlo in caso generale???
Faccio un riassunto del topic che ho segnalato.
Sussiste il seguente teorema:
se $(c_n)$ e $(b_n)$ sono due successioni con $(b_n)$ crescente (o decrescente) e divergente, allora $lim(c_n)/(b_n)=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)$ se il secondo limite esiste.
Posto $c_n=a_1+a_2+...+a_n$
$b_n=n$
si ha
$lim(a_1+a_2+...+a_n)/n=limc_n/b_n=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)=lim(a_1+....+a_n+a_(n+1)-a_1-...-a_n)/(n+1-n)=lima_(n+1)=a$
Sussiste il seguente teorema:
se $(c_n)$ e $(b_n)$ sono due successioni con $(b_n)$ crescente (o decrescente) e divergente, allora $lim(c_n)/(b_n)=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)$ se il secondo limite esiste.
Posto $c_n=a_1+a_2+...+a_n$
$b_n=n$
si ha
$lim(a_1+a_2+...+a_n)/n=limc_n/b_n=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)=lim(a_1+....+a_n+a_(n+1)-a_1-...-a_n)/(n+1-n)=lima_(n+1)=a$
Chiarissimo!!!! e grazie per l'aiuto
poi devo dire che questo teoremino non lo conoscevo... e la dimostrazione è molto bella!!
"Piera":
Posto $c_n=a_1+a_2+...+a_n$
$b_n=n$
si ha
$lim(a_1+a_2+...+a_n)/n=limc_n/b_n=lim(c_(n+1)-c_n)/(b_(n+1)-b_n)=lim(a_1+....+a_n+a_(n+1)-a_1-...-a_n)/(n+1-n)=lima_(n+1)=a$
poi devo dire che questo teoremino non lo conoscevo... e la dimostrazione è molto bella!!
"Cantaro86":
poi devo dire che questo teoremino non lo conoscevo... e la dimostrazione è molto bella!!
E' un risultato che fa parte del folklore... Alcuni lo attribuiscono a Ernesto Cesàro, un matematico napoletano morto ne 1906, a Torre Annunziata, per le ferite riportate nel tentativo di salvare il figlio che era in pericolo di annegare.
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