Dimostrazione serie armonica generalizzata

[Lucked]

ciao a tutti, sono arrivato a capire la dimostrazione fino a un certo punto poi ho fatto cosi:
piu precisamente guardate qua:
http://img516.imageshack.us/my.php?image=000ze5.png
da sommando membro a membro in poi...mi servono chiarimenti di tipo linguistico, i numeri non mi bastano per farmi capire la cosa. Mi date perpiacere un po' di italiano scritto per spiegarmi questi passaggi?
grazie

[TomSawyer1]

Quali passaggi non capisci? Sono tutti piuttosto chiari.

[Lucked]

me le potresti commentare, quelle 3 righe? è importante. se capisco qualcosetta posso anche fare delle domande, ma li non ci ho capito niente

[Lucked]

ad esempio non ho capito perchè Sn prima era il maggiore di tutto quello scritto dopo, poi diventa il minore di tutto quello scritto dopo, non ho capito come quella serie sia uguale a Sn+1 - 1, e non mi è chiaro l'ultimo passaggio, si ha un maggiorante divergente eppure si conclude che la funzione diverge....qualcuno mi sai dire?

[Eredir]

E' chiaro che $s_n < s_(n+1)$.
Mostra quindi che $t_n >= s_(n+1) - 1$ ovvero $s_(n+1) <= 1 + t_n$.
Quindi si ha $s_n < s_(n+1) <= 1 + t_n$.

L'ultimo passaggio segue semplicemente da $s_n >= t_n$, dal momento che $t_n$ diverge.

[Lucked]

ma scusa la riga prima si era detto che sn è minore di tn...poi per p<=1 cambia?

[Eredir]

"Lucked":ma scusa la riga prima si era detto che sn è minore di tn...poi per p<=1 cambia?

Nella riga prima fa vedere che $s_n >= t_n$, attenzione.
Per $p <= 1$ l'integrale diverge, quindi anche la serie diverge (segue da $s_n >= t_n$).

[Lucked]

stiamo prendendo p>0, 1/K^p è sempre positivo sia che prendiamo p>1 che p<=1, come si giustifica allora che sn non sia sempre maggiore di tn? mi spiace ma non ho capito.

[TomSawyer1]

Ma $s_n$ è sempre maggiori di $t_n$ (lo ha dimostrato nella prima riga, come ti diceva Eredir), ma per $p>1$, $t_n$ converge e per $p\le 1$ diverge, passando al limite per $n\to+\infty$.

[Lucked]

"TomSawyer":Ma $s_n$ è sempre maggiori di $t_n$ (lo ha dimostrato nella prima riga, come ti diceva Eredir), ma per $p>1$, $t_n$ converge e per $p\le 1$ diverge, passando al limite per $n\to+\infty$.

ok...credo di avere capito, si è passati a questa:

$ s_(n+1) <= 1+t_n <= int .. + 1 $

e sapendo che $ s_n <= s_(n-1) $

si è aggiunto dopo, all'inizio cosi:

$ s_n < s_(n+1) <= 1+t_n <= int .. + 1 $

i miei dubbi rimangono 2:
non capisco perchè studiare quell'integrale equivale a studiare le sorti di $s_n$
e perche la serie della terzultima riga è uguale a $s_(n+1)-1
ripetetemi se lo avete gia detto la spiegazione, grazie

[Eredir]

"Lucked":i miei dubbi rimangono 2:
non capisco perchè studiare quell'integrale equivale a studiare le sorti di $s_n$
e perche la serie della terzultima riga è uguale a $s_(n+1)-1
ripetetemi se lo avete gia detto la spiegazione, grazie

La serie è $lim_(n->oo) s_n = \sum_(k=1)^(oo) 1 / (k^p)$ e ne vogliamo studiare la convergenza, fin qui direi che ci siamo.
Il testo mostra le due disuguaglianze $s_n >= t_n$ ed $s_n < 1 + t_n$, valide per ogni $n$ e per ogni $p$.
Ora vogliamo studiare cosa succede quando passiamo al limite per $n -> oo$ in queste due espressioni, per diversi valori di $p$.

Se $p > 1$ allora $lim_(n->oo) s_n = \sum_(k=1)^(oo) 1 / (k^p) <= 1 + lim_(n->oo) t_n = 1 + \int_1^(oo) dx / (x^p) = C$, ovvero l'integrale è finito e quindi essendo la serie maggiorata dalla costante $C$ converge.

Se $p <= 1$ allora $lim_(n->oo) s_n = \sum_(k=1)^(oo) 1 / (k^p) >= lim_(n->oo) t_n = \int_1^(oo) dx / (x^p) = + oo$, ovvero la serie maggiora un integrale che diverge e quindi diverge anch'essa.

Spero sia un po' più chiaro, forse dovresti rivedere un po' i criteri di convergenza per le serie in generale.

[Lucked]

ok è piu chiaro grazie. Secondo voi quel -1 che è stato aggiunto a $ S_(n+1)$ è una cosa importante o puo essere sottovalutata?
e quindi 1) perchè si è messo?
2) se non è importante si poteva non mettere?
grazie