Dimostrazione Serie
Cerco i valori di $p$ per i quali la serie converge:
$sum_(n=2)^(oo) 1/(n(ln (n))^p)$
Ho trovato che è una serie notevole e che converge per $p>1$ ma volevo dimostarlo..
Sto uscendo matto.
Come si fa?
Illuminatemi perfavore.
$sum_(n=2)^(oo) 1/(n(ln (n))^p)$
Ho trovato che è una serie notevole e che converge per $p>1$ ma volevo dimostarlo..
Sto uscendo matto.
Come si fa?
Illuminatemi perfavore.
Risposte
criterio integrale
dai, che è anche facile
mi pare anche che sia stato trattato nel forum abbastanza recentemente
in effetti è un classico
ciao
dai, che è anche facile
mi pare anche che sia stato trattato nel forum abbastanza recentemente
in effetti è un classico
ciao
Grazie Fioravante Patrone!
Ora provo ancora.
Immaginavo che fosse facile, ma ho iniziato a studiare le serie da un paio di giorni...
Ho escluso subito $p=0$ perché rimane una serie armonica semplice che non è convergente.
Ora provo ancora.
Immaginavo che fosse facile, ma ho iniziato a studiare le serie da un paio di giorni...
Ho escluso subito $p=0$ perché rimane una serie armonica semplice che non è convergente.
Ancora niente.
Arrivo a calcolare l'integrale improprio:
$lim_{t->oo} ( ((ln t)^(-p+1))/(-p+1) - ((ln 2)^(-p+1))/(-p+1))$
Ma poi mi fermo.
Arrivo a calcolare l'integrale improprio:
$lim_{t->oo} ( ((ln t)^(-p+1))/(-p+1) - ((ln 2)^(-p+1))/(-p+1))$
Ma poi mi fermo.
Forse ci sono: la parte DX non mi preoccupa perché dovrebbe essere un numero finito per ogni p.
La parte a SX:
(All'inizio ho escluso $p=0$ perché rimane una serie armonica semplice che non è convergente)
se $p<1$ il $ln t $ è al numeratore ed il limite va a $oo$ (non converge)
se $p>1$ il $ln t $ è al denominatore e il limite tende a $0$ (converge)
Detto terra terra che + terra non si può...
Vi chiedo:
E' giusto il ragionamento?
La parte a SX:
(All'inizio ho escluso $p=0$ perché rimane una serie armonica semplice che non è convergente)
se $p<1$ il $ln t $ è al numeratore ed il limite va a $oo$ (non converge)
se $p>1$ il $ln t $ è al denominatore e il limite tende a $0$ (converge)
Detto terra terra che + terra non si può...
Vi chiedo:
E' giusto il ragionamento?
"Giova411":
Forse ci sono: la parte DX non mi preoccupa perché dovrebbe essere un numero finito per ogni p.
La parte a SX:
(All'inizio ho escluso $p=0$ perché rimane una serie armonica semplice che non è convergente)
se $p<1$ il $ln t $ è al numeratore ed il limite va a $oo$ (non converge)
se $p>1$ il $ln t $ è al denominatore e il limite tende a $0$ (converge)
Detto terra terra che + terra non si può...
Vi chiedo:
E' giusto il ragionamento?
certo, se $1-p>0->p<1$ il logaritmo è elevato ad una potenza positiva per cui al limite per $t->+infty$ tende a $+infty$; mentre se $1-p<0->p>1$ il logaritmo è elevato ad una potenza negativa (cioè sta al denominatore elevato ad una potenza positiva) per cui al limite per $t->+infty$ tende a $0$. Quindi la convergenza è assicurata per $p>1$
Già che siamo in argomento avrei un quesito interessante da proporre ai [cosidetti] 'volonterosi' 
...
Si è visto ora che la serie...
$sum_(n=2)^(oo) 1/(n*ln^2 n)$ (1)
... è convergente. Very well!!!.... Il quesito è il seguente: quanti termini della (1) occorre sommare per avere il risultato esatto alle prime due cifre?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... Si è visto ora che la serie...
$sum_(n=2)^(oo) 1/(n*ln^2 n)$ (1)
... è convergente. Very well!!!.... Il quesito è il seguente: quanti termini della (1) occorre sommare per avere il risultato esatto alle prime due cifre?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"nicola de rosa":
certo, se $1-p>0->p<1$ il logaritmo è elevato ad una potenza positiva per cui al limite per $t->+infty$ tende a $+infty$; mentre se $1-p<0->p>1$ il logaritmo è elevato ad una potenza negativa (cioè sta al denominatore elevato ad una potenza positiva) per cui al limite per $t->+infty$ tende a $0$. Quindi la convergenza è assicurata per $p>1$
Come sempre: GRAZIE!
Al quesito di Lupo Grigio non so rispondere...
Rispondere al quesito da me posto è assai meno ‘terrificante’ di quanto non appaia a prima vista. Facendo riferimento alla figura qui sotto…
… possiamo in prima approssimazione dire che…
$sum_(n=2)^(+oo) 1/(n*ln^2n)~~ sum_(n=2)^7 1/(n*ln^2 n) + int_7^(+oo) 1/(x*ln^2 x)*dx$ (1)
Operando la sostituzione $t=ln x$ si trova facilmente che è…
$int_xi^(+oo) dx/(x*ln^2x) = int_(ln xi)^(+oo) dt/t^2= 1/(ln xi)$ (2)
Andando a sostuire nella (1) si trova…
$sum_(n=2)^(+oo) 1/(n*ln^2n)~~ 1.6138… +.5139…= 2.1277… $
Se vogliamo due cifre esatte l’errore deve essere $<.0277$ il che significa che…
$e~~ int_xi^(+oo) dx/(x*ln^2 x)= 1/(ln xi)<.0277…$ (3)
… ovvero $xi> e^36.1~~ 7.7 10^14$…
In definitiva per avere due cifre esatte della serie in questione basta sommare solamente 770.000 miliardi di termini… ...un quarto del debito pubblico italiano espresso in lire… e che volete mai che sia!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
… possiamo in prima approssimazione dire che…
$sum_(n=2)^(+oo) 1/(n*ln^2n)~~ sum_(n=2)^7 1/(n*ln^2 n) + int_7^(+oo) 1/(x*ln^2 x)*dx$ (1)
Operando la sostituzione $t=ln x$ si trova facilmente che è…
$int_xi^(+oo) dx/(x*ln^2x) = int_(ln xi)^(+oo) dt/t^2= 1/(ln xi)$ (2)
Andando a sostuire nella (1) si trova…
$sum_(n=2)^(+oo) 1/(n*ln^2n)~~ 1.6138… +.5139…= 2.1277… $
Se vogliamo due cifre esatte l’errore deve essere $<.0277$ il che significa che…
$e~~ int_xi^(+oo) dx/(x*ln^2 x)= 1/(ln xi)<.0277…$ (3)
… ovvero $xi> e^36.1~~ 7.7 10^14$…
In definitiva per avere due cifre esatte della serie in questione basta sommare solamente 770.000 miliardi di termini…
...un quarto del debito pubblico italiano espresso in lire… e che volete mai che sia!… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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