Dimostrazione serie

[Lodosage]

data la serie convergente $sum_(n = 1) sqrt(|a_n|)$ dimostra che anche $sum_(n = 1) a_n$ converge

[feddy]

Così su due piedi proverei a impostare qualcosa col criterio della radice. Ma non ne sono certissimo

[Bremen000]

Ciao, io proverei così:

$sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{|a_n|} < \infty \Rightarrow \sqrt{|a_n|} \overset{n \to \infty}{\to} 0 \Rightarrow |a_n| \overset{n \to \infty}{\to} 0 $

Allora $ \exists M > 0 : n > M \Rightarrow |a_n| < 1$

e quindi $|a_n| < \sqrt{|a_n|} \quad \forall n > M$

Allora per il criterio del confronto tra serie, la serie $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ converge e questo implica (convergenza assoluta implica convergenza semplice) che anche la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge.

[Ziben]

Ciao,
vorrei fare una domanda, forse totalmente assurda e infondata. Dato che:

$\sum_(n=1)^(\infty) sqrt(|a_n|)$ è convergente, per ipotesi, e a termini positivi, si può dire che è $sqrt(|a_n|)$ asintotica a $1/(n^\alpha)$ con $\alpha >1$? Ci ho pensato ma non riesco a trovare giustificazioni né per il no, né per il si

[Bremen000]

Prendi ad esempio $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n)}{n^2}$ , è a termini positivi e converge ma non è vero che è asintotica a un qualche $\frac{1}{n^{\alpha}} \quad , \quad \alpha > 1$.

[Ziben]

Grazie! Infatti cercavo un esempio che negasse, ma non lo trovavo eppure è piuttosto semplice, si incontra spesso. Devo lavorare molto sulla ricerca di esempi/controesempi perché è un'attitudine importante.