Dimostrazione semplice semplice

[attila3]

1) verificare che la funzione:
p(x)= a con 0+a con 1*(x-c)+a con 2*(x-c)^2+...+acon n*(x-c)^n
la derivata j-esima (per j= 1, 2, ..., n) calcolata in x con 0=c è D^j*(p(c))=j!a con j = (1*2*3*...*(j-1)*j)a con j

2) si mostri che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari.
suggerimento: se f è pari, allora f(x)= f(-x) per ogni x. Quindi in particolare f(-x)-f(-a) tutto fratto (-x)-(-a)= f(x)-f(a)
tutto fratto x-a.
Quindi la derivata prima...

3) f(x)= 3a^2*x^3+2a, x>1
e^(2x^2-3x+1), x<=1
determinare per quali valori del parametro a la funzione risulta;
i) continua;
ii) derivabile

[attila3]

citazione:

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1) verificare che la funzione:
p(x)= a con 0+a con 1*(x-c)+a con 2*(x-c)^2+...+acon n*(x-c)^n
la derivata j-esima (per j= 1, 2, ..., n) calcolata in x con 0=c è D^j*(p(c))=j!a con j = (1*2*3*...*(j-1)*j)a con j

2) si mostri che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari.
suggerimento: se f è pari, allora f(x)= f(-x) per ogni x. Quindi in particolare f(-x)-f(-a) tutto fratto (-x)-(-a)= f(x)-f(a)
tutto fratto x-a.
Quindi la derivata prima...

3) f(x)= 3a^2*x^3+2a, x>1
e^(2x^2-3x+1), x<=1
determinare per quali valori del parametro a la funzione risulta;
i) continua;
ii) derivabile

3)
la f è continua per a = -1 e a= 1/3
la f derivabile per a = 1/3

qualcuno sa tutti i passaggiperchè non mi ricordo tanto bene.

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[Asimov1]

f(x) è continua in x diverso da 1 perchè composizione di funzioni continue.
Per essere continua anche in 1 dev'essere
3a^2+2a = e^(2-3+1)
quindi 3a^2+2a-1=0
le cui soluzioni sono appunto -1 ed 1/3

f'(x) =
3a^2*3*x^2 per x > 1
e^(2x^2-3x+1)*(4x-3) per x < 1

f è derivabile in 1 se f ed f' sono continue in 1

Dalla continuità di f' si ha:
9a^2 = e^(2-3+1)*1
9a^2 = 1
a= +- 1/3

ma per a = -1/3 f non è continua quindi l'unica soluzione è +1/3