Dimostrazione semplice numero complesso
Mi piacerebbe dimostrare che $|sqrt(a+ib)|=sqrt(|a+ib|)$ ma devo dire che non mi vengono idee sensate.
Inizialmente mi sono posto la domanda pensando non valesse poiché le radici sono due in numero, mi sono detto... tuttavia mi sono presto reso conto che sbagliavo infatti dovrebbe tornare a conti fatti poiché le radici giacciono sulla circonferenza sul piano di A-G, quindi essendo il modulo la distanza (raggio) è evidente che deve tornare.
Il punto è che non mi viene una idea furba per dimostrarlo in modo formale. Vi ringraizo.
Inizialmente mi sono posto la domanda pensando non valesse poiché le radici sono due in numero, mi sono detto... tuttavia mi sono presto reso conto che sbagliavo infatti dovrebbe tornare a conti fatti poiché le radici giacciono sulla circonferenza sul piano di A-G, quindi essendo il modulo la distanza (raggio) è evidente che deve tornare.
Il punto è che non mi viene una idea furba per dimostrarlo in modo formale. Vi ringraizo.
Risposte
Conviene scrivere $a+ib$ in forma esponenziale.
Ciao alBABInetto,
Sostanzialmente vuoi dimostrare che si ha $|\sqrt(z)| = \sqrt|z| $, il che è vero: procedendo come ti ha già indicato dissonance, cioè considerando $z = \rho e^{i\theta} $, dovresti riuscire a dimostrarlo autonomamente.
Sostanzialmente vuoi dimostrare che si ha $|\sqrt(z)| = \sqrt|z| $, il che è vero: procedendo come ti ha già indicato dissonance, cioè considerando $z = \rho e^{i\theta} $, dovresti riuscire a dimostrarlo autonomamente.
Mi ostinavo a cercare di farlo in forma algebrica, in effetti con la vostra imboccata risulta tutto fattibile e mi torna.
Un grazie per l'aiuto! :=)
Un grazie per l'aiuto! :=)
Farlo in forma algebrica è facile, basta elevare al quadrato i due membri.
@alBABInetto: ho modificato il tuo primo post, vedi come viene meglio la formula così?
@Martino: non mi sembra super immediato perché serve una formula per \(\sqrt{a+ib}\) in termini puramente algebrici. É una cosa interessante: https://math.stackexchange.com/a/44414/8157
@Martino: non mi sembra super immediato perché serve una formula per \(\sqrt{a+ib}\) in termini puramente algebrici. É una cosa interessante: https://math.stackexchange.com/a/44414/8157
No non credo. Chiamando $w$ una radice quadrata di $z$ abbiamo che $w^2=z$ e quindi
$|z|=|w^2|=|w|^2$.
Estraendo le radici quadrate $sqrt(|z|)=|w|$.
Ho usato solo che $|x||y|=|xy|$.
$|z|=|w^2|=|w|^2$.
Estraendo le radici quadrate $sqrt(|z|)=|w|$.
Ho usato solo che $|x||y|=|xy|$.
Certo! Hai ragione.
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