Dimostrazione riguardo Uniforme continuità.

[GianAlpha]

Salve a tutti, ho questa dimostrazione e non so che fare. Un punto dell' esame che nn ho fatto e sicuro me lo chiede all'orale ! HELP..Grazie
Esercizio dice:
Sia $f:[1,+oo) rarr RR$. Dimostrare la seguente affermazione: Se $f$ è uniformemente continua e derivabile, con $f'$ monotona crescente, allora $f'$ è limitata.

Grazie ancora

[cicalino1]

Ciao

Provo a fare questa dimostrazione, anche se lascio ai più esperti di verificarne la correttezza e l'efficacia.

Se la $f$ è uniformemente continua nell'intervallo, allora, per definizione, possiamo dire:

$AA x', x'' in [1, +oo), AA ε > 0$ $EE δ_ε$ tale che, se $abs(x' - x'') < δ => abs(f(x') - f(x'')) < ε$

Sapendo che la derivata prima è monotona crescente, se prendiamo $x'$ e $x''$ tali che $x' > x''$ allora il modulo non serve, quindi $f(x') - f(x'') < ε$

Ora, veniamo alla definizione di derivata:

$f'(x) := lim_(Δx -> 0) (f(x + Δx) - f(x))/(Δx)$

Ora, pensiamo $x + Δx = x'$ e $x = x''$, allora possiamo dire che $f(x + Δx) - f(x) < ε$ se $Δx = x' - x'' < δ$
Possiamo in questo modo sempre maggiorare il rapporto incrementale e, poiché la funzione è definita solo in $[1, +oo)$, allora la $f'$ è sicuramente limitata.

[dissonance]

"cicalino":Ciao

Provo a fare questa dimostrazione, anche se lascio ai più esperti di verificarne la correttezza e l'efficacia.

Se la $f$ è uniformemente continua nell'intervallo, allora, per definizione, possiamo dire:

$AA x', x'' in [1, +oo), AA ε > 0$ $EE δ_ε$ tale che, se $abs(x' - x'') < δ => abs(f(x') - f(x'')) < ε$

Sapendo che la derivata prima è monotona crescente, se prendiamo $x'$ e $x''$ tali che $x' > x''$ allora il modulo non serve, quindi $f(x') - f(x'') < ε$

La derivata è monotona crescente, non la funzione. Ad esempio, la funzione $f(x)=(x-1)^2$ ha la derivata monotona crescente su \((1, \infty)\) ma non è monotona.

[vict85]

Che metodi puoi usare per dimostrarlo? Integrali? O solo argomenti analisi 1?

[cicalino1]

"dissonance":[quote="cicalino"]Ciao

Provo a fare questa dimostrazione, anche se lascio ai più esperti di verificarne la correttezza e l'efficacia.

Se la $f$ è uniformemente continua nell'intervallo, allora, per definizione, possiamo dire:

$AA x', x'' in [1, +oo), AA ε > 0$ $EE δ_ε$ tale che, se $abs(x' - x'') < δ => abs(f(x') - f(x'')) < ε$

Sapendo che la derivata prima è monotona crescente, se prendiamo $x'$ e $x''$ tali che $x' > x''$ allora il modulo non serve, quindi $f(x') - f(x'') < ε$

La derivata è monotona crescente, non la funzione. Ad esempio, la funzione $f(x)=(x-1)^2$ ha la derivata monotona crescente su \((1, \infty)\) ma non è monotona.[/quote]

uh, hai ragione!

La mia dimostrazione si può correggere o dunque si può fare solo in altra maniera?

[vict85]

Siccome \(\displaystyle f' \) è monotono esistono \(\displaystyle \lim_{x\to 0} f' \) e \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} f' \). Pertanto è sufficiente dimostrare che i due limiti non posso andare a \(-\infty\) e \(+\infty\), rispettivamente.
Per il primo basta supporre che sia \(-\infty\) e quindi produrre un assurdo con la uniforme continuità. Per il secondo, puoi supporre che la derivata sia positiva da un certo punto in poi, altrimenti il teorema è banalmente verificato. Più tardi provo a buttare giù qualcosa di più dettagliato.

[vict85]

Mi sono reso conto che il mio discorso ha qualche problema: la funzione \(-\sqrt{x-1}\) è uniformemente continua e derivabile, possiede derivata monotona crescente ma la derivata in \(1\) tende a meno infinito. Quindi o sbaglio qualcosa io con questo esempio o la derivata è solo superiormente limitata. Per il discorso a \(+\infty\) invece continua ad essere corretto dato che la derivata o è limitata oppure diventa maggiore di \(0\) ad un certo punto. E usando la positività diventa tutto molto semplice.

[cicalino1]

Se la derivata, oltre che monotona crescente, fosse anche $> 0$ allora funzionerebbe anche la mia dimostrazione, per il terzo corollario a Lagrange...

[vict85]

Certo. Anche se devo dire che non sono sicuro che “terzo corolario di Lagrange” abbia un significato univoco.

Comunque non serve alcun corollario, basta usare Lagrange.

Se \(\displaystyle f'(x) < 0 \) per ogni \(\displaystyle x \) allora \(\displaystyle f' \) è banalmente superiormente limitato. Supponiamo quindi che si abbia \(\displaystyle f'(x) > 0 \) per \(\displaystyle x > N \) e fissiamo un \(\displaystyle \varepsilon > 0 \). Allora per l'uniforme continuità esiste un \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \lvert y-x \rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(y) - f(x) \rvert < \varepsilon \). Fissiamo un qualsiasi \(\displaystyle x > N \) e sia \(\displaystyle y = x + \frac{\delta}{2} \) allora, per Lagrange, esiste un \(\displaystyle x
Quando invece si va verso 1, non si può usare lo stesso metodo perché \(\displaystyle y-x \) va a zero. E tra l'altro ho anche fornito un controesempio al problema posto. A meno di errori miei, possibilissimi, il/la professore/essa non ha preso in considerazione che il limite verso 1 potesse andare a meno infinito.

[edit] Ho riletto la tua dimostrazione e mi sa che alla fine è la stessa dimostrazione. La lascio comunque scritta. Non ho comunque allora capito quale sia il corollario a cui fai riferimento.

[cicalino1]

Intendo il corollario della monotonia: se in un intervallo $f'(x) >= 0$ allora $f(x)$ è crescente in quell'intervallo.

[dissonance]

@vict: Però io interpreto che la funzione deve essere derivabile anche in $1$. La radice quadrata non lo è. Forse questo salva capra e cavoli

[vict85]

Probabilmente è così, in quel caso il valore in 1 è il limite inferiore e non ci è nulla da dimostrare. Immagino che per l'autore della discussione convenga darlo per scontato all'orale. Al di là del suo orale, è comunque interessante osservare che il limite da quella parte può andare a meno infinito.

Per certi versi ci siamo fatti prendere troppo la mano: l'autore della discussione non ha espresso molte idee.

@cicalino: ah OK. In realtà ripensandoci non è neanche necessario tirar fuori la positivita: \(\displaystyle f'(x)

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