Dimostrazione riguardo l'integrazione secondo Lebesgue

[_Tipper]

Dovrei dimostrare che data una funzione misurabile e nulla fuori di un compatto $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, se esistono due successioni di funzioni semplici, $\{\psi_n\}$ minorante $f$ e $\{\phi_n\}$ maggiorante $f$, tali che $\lim_{n \to +\infty} I(\phi_n) = \lim_{n \to +\infty} I(\psi_n)$, dove $I$ rappresenta l'integrale di una funzione semplice, allora la $f$ è sommabiel secondo Lebesgue.

Potreste dirmi se questa funge?

Senza perdita di generalità si può considerare la $\{\psi_n\}$ non decrescente e $\{\phi_n\}$ non crescente (questo lo so dimostrare, pertanto non mi dilungo). Risulta

$\psi_n \le f \le \phi_n$

quindi, per la monotonia dell'integrale

$I(\psi_n) \le \int_{\mathbb{R}^n} f(x) fx \le I(\phi_n)$ (*)

e in particolare $I(\psi_n)$ e $I(\phi_n)$ sono due successioni non decrescenti e non crescenti, rispettivamente, sempre per la monotonia dell'integrale, quindi

$I(\psi_n) \to "sup"_{\psi \in S_{-}(f)} I(\psi)$ e $I(\phi_n) \to "inf"_{\phi \in S_{+}(f)} I(\phi)$

dove $S_{-}(f)$ e $S_{+}(f)$ identificano rispettivamente l'insieme delle funzioni semplici minoranti e maggioranti la $f$. Pertanto, dalla relazione (*), per il teorema dei due carabinieri, si ottiene

$\int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx = "sup"_{\psi \in S_{-}(f)} I(\psi) = "inf"_{\phi \in S_{+}(f)} I(\phi)$

che è è proprio la definizione di sommabilità. Può andare?

[amel3]

Non sono sicuro, ma non mi quadra. Quando hai fatto i limiti degli integrali delle funzioni semplici, io scriverei piuttosto:
$I(\psi_n) \to "sup"_{n in NN} I(\psi_n) $
$I(\phi_n) \to "inf"_{n in NN} I(\phi_n) $
(e taglierei la frase "quindi, per la monotonia dell'integrale..." fino ala formula.).
La ragione di questo sta nel fatto che non puoi essere certo, ad esempio, che il sup delle $\psi_n$ sia proprio il sup di tutte le funzioni semplici di quel tipo.
Io continuerei in questo modo.
Essendo $S_{-} (f)$ e $S_+(f)$ definite come tu hai detto, osservo che:
$"sup"_{n in NN}I(\psi_n) \le "sup"_{\psi in S_- (f)}I(\psi) \le "inf"_{\phi in S_+(f)}I(\phi) \le "inf"_{n in NN} I(\phi_n)$.
Poichè agli estremi della catena di disuguaglianze ci sono due termini tra loro uguali per ipotesi, si tratta in realtà di una catena di uguaglianze e in particolare:
$"sup"_{\psi in S_- (f)}I(\psi) = "inf"_{\phi in S_+(f)}I(\phi)$,
cioè $f$ è sommabile.
Però è probabile che abbia frainteso o non visto qualche tua osservazione.

[_Tipper]

Mi sa che non hai frainteso, e che hai ragione tu. Grazie amel!

[amel3]

Prego. Ciao.