Dimostrazione rigorosa di un limite particolare
$ sum_(n >=1) (cos3x)^n / (n+1) $
Questa serie è una serie a segni alterni..
$ lim_(n -> oo) a_n $ intuitivamente fa $0$ per ogni $x$ ma come faccio a dimostrarlo rigorosamente??
Questa serie è una serie a segni alterni..
$ lim_(n -> oo) a_n $ intuitivamente fa $0$ per ogni $x$ ma come faccio a dimostrarlo rigorosamente??
Risposte
E perché mai sarebbe a segni alterni?
Nel senso, sempre che io abbia capito bene, il parametro $x$ può variare in $RR$ ma nel momento in cui consideri una determinata serie quell'$x$ deve essere fissato.
Ad es, se $x=0$ la serie diventa una serie armonica.
Se $x = \pi/6$, la serie diventa $sum (cos(\pi/2))^n/(n+1) = 0$
ecc...
EDIT:
Ad ogni modo $lim_(n->+oo) (cos^n(3x))/(n+1) = 0 AA x in RR$, in quanto:
- $AA x in RR, -1<=cos(3x)<=1$
- se $a in [-1,1]$, allora $a^n in [-1,1] AA n in NN$
Quindi hai il prodotto di una successione limitata ($cos^n(3x)$) per una infinitesima ($1/(n+1)$), pertanto il limite è uguale a 0.
Nel senso, sempre che io abbia capito bene, il parametro $x$ può variare in $RR$ ma nel momento in cui consideri una determinata serie quell'$x$ deve essere fissato.
Ad es, se $x=0$ la serie diventa una serie armonica.
Se $x = \pi/6$, la serie diventa $sum (cos(\pi/2))^n/(n+1) = 0$
ecc...
EDIT:
Ad ogni modo $lim_(n->+oo) (cos^n(3x))/(n+1) = 0 AA x in RR$, in quanto:
- $AA x in RR, -1<=cos(3x)<=1$
- se $a in [-1,1]$, allora $a^n in [-1,1] AA n in NN$
Quindi hai il prodotto di una successione limitata ($cos^n(3x)$) per una infinitesima ($1/(n+1)$), pertanto il limite è uguale a 0.
"The_Mad_Hatter":
E perché mai sarebbe a segni alterni?
Nel senso, sempre che io abbia capito bene, il parametro $x$ può variare in $RR$ ma nel momento in cui consideri una determinata serie quell'$x$ deve essere fissato.
Ad es, se $x=0$ la serie diventa una serie armonica.
Se $x = \pi/6$, la serie diventa $sum (cos(\pi/2))^n/(n+1) = 0$
ecc...
hai ragione mi sono confuso col parametro..
"The_Mad_Hatter":
EDIT:
Ad ogni modo $lim_(n->+oo) (cos^n(3x))/(n+1) = 0 AA x in RR$, in quanto:
- $AA x in RR, -1<=cos(3x)<=1$
- se $a in [-1,1]$, allora $a^n in [-1,1] AA n in NN$
Quindi hai il prodotto di una successione limitata ($cos^n(3x)$) per una infinitesima ($1/(n+1)$), pertanto il limite è uguale a 0.
grazie della spiegazione esauriente..
un'altra domanda:
io applico il criterio della radice e mi viene $lim_(n->+oo) cos(3x)/(n+1)^n$. Posso utilizzare la dimostrazione di prima per poter affermare che il limite fa $0$ e che quindi la serie converge?? e se la risposta è si, il parametro $x$ è ininfluente??
"winged_warrior":
un'altra domanda:
io applico il criterio della radice e mi viene $lim_(n->+oo) cos(3x)/(n+1)^n$. Posso utilizzare la dimostrazione di prima per poter affermare che il limite fa $0$ e che quindi la serie converge?? e se la risposta è si, il parametro $x$ è ininfluente??
Ma con il criterio della radice non verrebbe $lim_(n->+oo) cos(3x)/(n+1)^(1/n)$? Quindi il limite non farebbe $0$, ma $cos(3x)$.
Se così fosse (non lo uso mai questo criterio, correggimi se l'ho applicato male
), il criterio della radice ti direbbe che la serie è sempre convergente tranne quando $cos(3x) = 1$, ed in questi casi non ti darebbe nessuna informazione.Il parametro $x$ è ininfluente ai fini del carattere della serie (nel senso che converge $AA x in RR$) ma ovviamente non si può dire che sia ininfluente in generale in quanto la somma della serie ovviamente dipende dal valore di $x$!
"The_Mad_Hatter":
Ma con il criterio della radice non verrebbe $lim_(n->+oo) cos(3x)/(n+1)^(1/n)$? Quindi il limite non farebbe $0$, ma $cos(3x)$.
giusto, sono prp sbadato
"The_Mad_Hatter":
Se così fosse (non lo uso mai questo criterio, correggimi se l'ho applicato male
e quando $cos(3x) = 1$ che succede??
"The_Mad_Hatter":
Il parametro $x$ è ininfluente ai fini del carattere della serie (nel senso che converge $AA x in RR$) ma ovviamente non si può dire che sia ininfluente in generale in quanto la somma della serie ovviamente dipende dal valore di $x$!
a me basta solo studiare il carattere
"winged_warrior":
e quando $cos(3x) = 1$ che succede??
Non hai informazioni.
Per il criterio della radice, se $lim_(n->+oo) root(n)(a_n) = l$, se $l < 1$ la serie converge, se $l>1$ diverge, ma se $l=1$ questo criterio non dà alcuna informazione.
"The_Mad_Hatter":
[quote="winged_warrior"]e quando $cos(3x) = 1$ che succede??
Non hai informazioni.
Per il criterio della radice, se $lim_(n->+oo) root(n)(a_n) = l$, se $l < 1$ la serie converge, se $l>1$ diverge, ma se $l=1$ questo criterio non dà alcuna informazione.[/quote]
e quindi che faccio??
"winged_warrior":
[quote="The_Mad_Hatter"][quote="winged_warrior"]e quando $cos(3x) = 1$ che succede??
Non hai informazioni.
Per il criterio della radice, se $lim_(n->+oo) root(n)(a_n) = l$, se $l < 1$ la serie converge, se $l>1$ diverge, ma se $l=1$ questo criterio non dà alcuna informazione.[/quote]
e quindi che faccio??[/quote]
...cambi criterio!!
Non penso si possa fare molto altro lì
"The_Mad_Hatter":
...cambi criterio!!
Non penso si possa fare molto altro lì
vbb ma adesso che ci penso diventa semplicemente una serie armonica che diverge.. o sbaglio??
"winged_warrior":
[quote="The_Mad_Hatter"]
...cambi criterio!!
Non penso si possa fare molto altro lì
vbb ma adesso che ci penso diventa semplicemente una serie armonica che diverge.. o sbaglio??[/quote]
Hai ragione, mi sono sbagliato, la serie infatti converge a patto che $cos(3x) != 1$, nel qual caso infatti diverrebbe una serie armonica.
Prima ho scritto che la serie converge $AA x in RR$, ma ho fatto confusione con il limite... infatti basta guardare la serie iniziale per accorgersi che se $cos(3x) = 1$, la serie diventa una serie armonica (che ovviamente diverge).
"The_Mad_Hatter":
Prima ho scritto che la serie converge $AA x in RR$, ma ho fatto confusione con il limite... infatti basta guardare la serie iniziale per accorgersi che se $cos(3x) = 1$, la serie diventa una serie armonica (che ovviamente diverge).
grazie
senti senza che apro un altro topic.. mi potresti spiegare questa proprietà dei logaritmi?? $a^(log_ax) = log_aa^x = x$
praticamente non capisco il primo passaggio perchè il secondo è ovvio.. lo so che sicuramente è una cosa stupida però non ci arrivo proprio
"winged_warrior":
[quote="The_Mad_Hatter"]
Prima ho scritto che la serie converge $AA x in RR$, ma ho fatto confusione con il limite... infatti basta guardare la serie iniziale per accorgersi che se $cos(3x) = 1$, la serie diventa una serie armonica (che ovviamente diverge).
grazie
senti senza che apro un altro topic.. mi potresti spiegare questa proprietà dei logaritmi?? $a^(log_ax) = log_aa^x = x$
praticamente non capisco il primo passaggio perchè il secondo è ovvio.. lo so che sicuramente è una cosa stupida però non ci arrivo proprio
[/quote]Beh prendila in questo modo: se $f(x)$ è una funzione e $f^(-1)(x)$ la sua inversa, avrai sempre $f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x$.
E guardacaso la funzione inversa del logaritmo è l'esponenziale e la funzione inversa dell'esponenziale è il logaritmo! :p
EDIT:
Ad ogni modo, se ci pensi, se indico con $y$ il logaritmo di $x$ in base $a$, allora ho che $x = a^y$.
Il logaritmo infatti è l'esponente da dare alla base affinché risulti l'argomento.
Quindi $a^log_a(x) = a^y = x$.
Praticamente segue dalla definizione: stai elevando $a$ proprio al numero esatto a cui dovresti elevarlo per ottenere $x$ :p
"The_Mad_Hatter":
Beh prendila in questo modo: se $f(x)$ è una funzione e $f^(-1)(x)$ la sua inversa, avrai sempre $f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x$.
E guardacaso la funzione inversa del logaritmo è l'esponenziale e la funzione inversa dell'esponenziale è il logaritmo! :p
grazie
e dato che ci siamo mi tolgo anche quest'altro dubbio.. che differenza c'è tra massimi e minimi locali e massimi e minimi assoluti; e come si trovano??
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