Dimostrazione regolarità e iniettività parametrizzazione

[Pazzuzu]

Ciao a tutti!
Sono agli inizi con lo studio dei metodi della geometria differenziale, anzi sarebbe più appropriato dire che sono agli albori..ho postato nella sezione di Analisi perchè mi pare più pertinente rispetto a quella di Geometria..
Ho provato a risolvere l'esercizio seguente :

Dimostra che $ \sigma : RR -> RR^2$ data da $\sigma (t) = ( t/(1+t^4) , t / (1+t^2) )$ è una parametrizzazione regolare iniettiva ma non un omeomorfismo con l'immagine.

Allora innanzitutto ho verificato che fosse una parametrizzazione regolare, dunque mi sono accertato che non accadesse mai che $\sigma ' (t) = O$, infatti :

$\sigma ' (t) = ( (1-3t^4) / (1+t^4) ^2 , (1+t) (1-t) / (1+t^2)^2 )$

Dove $\sigma'(t)$ è continua su tutto $RR$ e inoltre,studiando $\sigma' (t) = O$, ho che :
$ { ( 1-3t^4 = 0 ),( 1-t^2 = 0 ):} -> { ( t = 1/root(4)(3) ),( t =+-1 ):} $ ;
dunque $\sigma (t) $ è regolare..Ora voglio dimostrare che $\sigma (t)$ è anche iniettiva, cioè che :

$\sigma(t_1) != \sigma (t_2) harr (t_1) != (t_2)$ :

supponendo $(t_1) != (t_2)$ ho pensato di sfruttare il fatto che $(\sigma(t) = (x(t) ,y (t) )$ : $\sigma(t_1) != \sigma(t_2) harr x(t_1) != x(t_2) \vee y(t_1) != y(t_2)$ ,
ma arrivo a scrivere questo sistema senza riuscire a trarre nessuna conclusione sicura :

$ t_1 /(1+t_1^4) != t_2 / (1+t_2^4) \vee t_1/ (1+t_1^2) != t_2/(1+t_2^2)$ (1)

Avete qualche suggerimento per capire quando la (1) è vera ?

[theras]

Ciao!
Io ho preferito impostarlo come sistema e,con passaggi leciti ed opportuni,sono arrivato all'equazione $t_1+t_1*t_2^2=t_2+t_2*t_1^2rArr(t_1-t_2)+t_1*t_2*(t_2-t_1)=0rArrt_1=t_2$ oppure $t_1*t_2=1$;
sostituisci la seconda di tali informazioni nell'equazione coi denominatori di quarto grado,
ed ottieni un'equazione in $t_1$ le cui soluzioni accettabili portano tutte a valori uguali di $t_1$ e $t_2$:
in altre parole è sempre verificato che $\sigma(t_1)=\sigma(t_2)hArrt_1=t_2$...
Poi sono un bel pò arruginito sulla rappresentazione parametrica delle curve,
e magari non ho centrato bene il punto:
spero d'esserti stato utile comunque,perchè sull'iniettività dovremmo esserci.
Saluti dal web.

[Pazzuzu]

Ok grazie mille adesso lavoro sulla dimostrazione che $\sigma(t)$ non è un omeomorfismo con l'immagine, anche se pure lì sono ad un punto morto..

[Rigel1]

Forse può esserti utile osservare che
\[ \lim_{t\to\pm\infty} \sigma(t) = (0,0) = \sigma(0). \]

[Pazzuzu]

"Rigel":Forse può esserti utile osservare che
\[ \lim_{t\to\pm\infty} \sigma(t) = (0,0) = \sigma(0). \]

Mhmh, stai cercando di farmi capire che , pur supponendo che $\sigma(t) : RR -> RR^2$ sia un'applicazione biunivoca, in ogni caso non è un omeomorfismo perchè mentre l'insieme $(- oo , +oo)sube RR$ è aperto la sua immagine tramite $\sigma$ non è aperta?

[dissonance]

Ti conviene fare un disegnino di questa curva. Mi sa che è una figure eight. Sono classici esempi di immersioni ingettive di \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}^2\) che però non sono imbedding per via di questi problemi topologici.

Ne abbiamo parlato qui:

post355092.html#p355092

[Pazzuzu]

"dissonance":Ti conviene fare un disegnino di questa curva. Mi sa che è una figure eight. Sono classici esempi di immersioni ingettive di \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}^2\) che però non sono imbedding per via di questi problemi topologici.

Ahahuahu andiamo piano, ho cominciato ieri mattina a studiare la geometria differenziale Fare un disegno della curva può servirmi per capire meglio, ma non lo userei come metodo risolutivo , giusto ? Se ho capito quello che voleva dirmi Rigel, il suo metodo mi pare molto elegante..

[Rigel1]

Ciò che ti ha detto dissonance è esattamente ciò che accade nel tuo esempio.

[Pazzuzu]

Si ragazzi ma io ho appena iniziato e non ho mai sentito parlare ne di immersioni ne di imbedding, comunque farò una ricerca
p.s. A quanto pare un Embedding è una funzione che è un omeomorfismo con la sua immagine, ma non ho capito a quali problemi topologici si riferisce dissonance, ci ragionerò un pò su..

[dissonance]

Non volevo spostare l'attenzione su questi paroloni (imbedding, immersione) ma sull'intuizione geometrica: figure eight.

Grosso modo la tua curva è così. Ora nell'immagine il pezzo evidenziato in grassetto è un aperto. Ma la sua controimmagine mediante \(\sigma\) non è un aperto di \(\mathbb{R}\) perché è un insieme di questa forma:

\[(-\infty, a) \cup \{0\} \cup (b, +\infty),\]

per \(a<0

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