Dimostrazione regola di annullamento del prodotto e dubbi
Salve,
la prima parte di questa dimostrazione prorpio non mi torna, ovvero quando dimostra l'implicazione verso sinistra:
* Proposizione: $a*b=0 iff a=0 vvv b=0$
* Dim:
($larr$) provo che $a*0=0$
$a*0=a*0+0$
$a*0=a*(0+0)$
$a*0+0=a*0+a*0$
$a*0=0$
Cioè nel primo passo dice che, $a*0$ è uguale a se stesso, poi dice che agigungendo l'elemento neutro è sempre uguale. Ma poi, quell'applicazione di "associatività" mi sembra parzialmente sbagliata, ovvero: Sicuramente essendo l'elemento neutro pure che lo moltiplichi per zero è sempre quello. Ma.. non so, mi stona quel passaggio. Anche perchè non potrebbe direttamente dire che se moltiplico per l'elemento neutro ho direttamente $0$ è risparmiarsi mille passaggi astrusi?
la prima parte di questa dimostrazione prorpio non mi torna, ovvero quando dimostra l'implicazione verso sinistra:
* Proposizione: $a*b=0 iff a=0 vvv b=0$
* Dim:
($larr$) provo che $a*0=0$
$a*0=a*0+0$
$a*0=a*(0+0)$
$a*0+0=a*0+a*0$
$a*0=0$
Cioè nel primo passo dice che, $a*0$ è uguale a se stesso, poi dice che agigungendo l'elemento neutro è sempre uguale. Ma poi, quell'applicazione di "associatività" mi sembra parzialmente sbagliata, ovvero: Sicuramente essendo l'elemento neutro pure che lo moltiplichi per zero è sempre quello. Ma.. non so, mi stona quel passaggio. Anche perchè non potrebbe direttamente dire che se moltiplico per l'elemento neutro ho direttamente $0$ è risparmiarsi mille passaggi astrusi?
Risposte
No, perché quella proprietá é deducibile.
Cioè la proprietà "deducibile" è che anche se moltiplico per l'elemento neutro è uguale. Ma a questo punto non è direttamente deducibile dire a $a*0$ è direttamente uguale a $0$ ? Purtroppo proprio le cose "ovvie" creano più "problemi".
La proprietá deducibile l'hai scritta in cima, é quella che vuoi dimostrare, e la dimostrazione é corretta, infatti necessita della proprietá distributiva assunta come assioma e di un altro teorema che hai sintetizzato negli ultimi due passaggi.
Ho capito cosa intendi, e penso che tu abbia ragione, il primo passaggio é del tutto irrilevante e fuorviante.
Ho capito cosa intendi, e penso che tu abbia ragione, il primo passaggio é del tutto irrilevante e fuorviante.
Più che altro il primo passaggio è inutile.
Puoi tranquillamente eliminarlo, giacché davvero non serve a nulla.
Puoi tranquillamente eliminarlo, giacché davvero non serve a nulla.
mi sembra davvero curioso che nessuno abbia notato tre cose che per me sono fondamentali:
1. ciò che scrivi non ha senso perchè non dici cosa sono $a$ e $b$ !! siamo in un campo, un anello ?? è fondamentale perchè quel teorema non è sempre vero.
2. dai per scontata l'altra freccia, che è quella delicata, mentre quella che tratti è abbastanza semplice, deriva dalle definizioni e vale sia in campi che anelli.
3. questa è una domanda di algebra, siamo nella sezione da analisi che è già abbastanza affollata per i fatti suoi...
inolte passando ai tuoi dubbi continui a dire una fras preoccupante che è : "se moltiplico per l'elemento neutro è uguale a sè stesso".
lascia pensare che tu non abbia ooportunamente notato che $0$ è l'elemento neutro dell'operazione $+$, mentre il neutro di $*$, se esiste nella struttura dove stiamo lavorando, è $1$.
1. ciò che scrivi non ha senso perchè non dici cosa sono $a$ e $b$ !! siamo in un campo, un anello ?? è fondamentale perchè quel teorema non è sempre vero.
2. dai per scontata l'altra freccia, che è quella delicata, mentre quella che tratti è abbastanza semplice, deriva dalle definizioni e vale sia in campi che anelli.
3. questa è una domanda di algebra, siamo nella sezione da analisi che è già abbastanza affollata per i fatti suoi...
inolte passando ai tuoi dubbi continui a dire una fras preoccupante che è : "se moltiplico per l'elemento neutro è uguale a sè stesso".
lascia pensare che tu non abbia ooportunamente notato che $0$ è l'elemento neutro dell'operazione $+$, mentre il neutro di $*$, se esiste nella struttura dove stiamo lavorando, è $1$.
"blackbishop13":
mi sembra davvero curioso che nessuno abbia notato tre cose che per me sono fondamentali:
1. ciò che scrivi non ha senso perchè non dici cosa sono $a$ e $b$ !! siamo in un campo, un anello ?? è fondamentale perchè quel teorema non è sempre vero.
2. dai per scontata l'altra freccia, che è quella delicata, mentre quella che tratti è abbastanza semplice, deriva dalle definizioni e vale sia in campi che anelli.
3. questa è una domanda di algebra, siamo nella sezione da analisi che è già abbastanza affollata per i fatti suoi...
inolte passando ai tuoi dubbi continui a dire una fras preoccupante che è : "se moltiplico per l'elemento neutro è uguale a sè stesso".
lascia pensare che tu non abbia ooportunamente notato che $0$ è l'elemento neutro dell'operazione $+$, mentre il neutro di $*$, se esiste nella struttura dove stiamo lavorando, è $1$.
Scusami stiamo lavorando nei numeri reali, però la professoressa quando le ho fatto la tua stessa domanda mi ha detto "vabbè è sottointeso che in questo corso si parla dei reali, è inutile he lo specifico..." e da qui l'errore di non specificarlo.
Per algebra, sinceramente non lo sapevo, avendo affrontato questo tema in analisi credevo che quindi fosse una domanda di analisi, chiedo venia per lo sbaglio di sezione.
L'altra implicazione l'ho capita, questa mi sfugge, se puoi commentarmela "passo passo" magari riesco a chiarirla meglio. Purtroppo essendo "cose elementari" le ha viste di sfuggita, e li per li mi sembravano chiare, ma riguardandole a me questa non mi è chiarissima.
Io farei così:
$a*0=a*(0+0)$
$a*0=a*0 + a*0$
$a*0 +0=a*0+a*0$
$0=a*0$
Che poi credo fosse quello che suggeriva Gugo.
Le proprietà che supponi già note nei passaggi intermedi sono:
- $0$ elemento neutro della somma;
- proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma;
- regola di cancellazione dei termini (qualcosa del genere, è quella che applichi passando dal penultimo all'ultimo rigo)
Dovresti pure dimostrare che $0*b=0$, in modo molto simile:
$a*0=a*(0+0)$
$a*0=a*0 + a*0$
$a*0 +0=a*0+a*0$
$0=a*0$
Che poi credo fosse quello che suggeriva Gugo.
Le proprietà che supponi già note nei passaggi intermedi sono:
- $0$ elemento neutro della somma;
- proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma;
- regola di cancellazione dei termini (qualcosa del genere, è quella che applichi passando dal penultimo all'ultimo rigo)
Dovresti pure dimostrare che $0*b=0$, in modo molto simile:
@ robbstark : se hai dimostrato che $a*0=0$ allora poi non hai bisogno di mostrare la stessa cosa per $b$ ovviamente, perchè $a$ è un elemento generico.
@ neptune: ma sei sicuro che l'altra freccia sia così immediata? già che ci siamo, come la dimostreresti?
comunque anch'io sono d'accordo con la dimostrazione proposta, e visto le proprietà che è sufficiente usare, la dimostrazione vale su tutti i campi, non solo su $RR$. e anche su qualcosa di più, se proprio vuoi
@ neptune: ma sei sicuro che l'altra freccia sia così immediata? già che ci siamo, come la dimostreresti?
comunque anch'io sono d'accordo con la dimostrazione proposta, e visto le proprietà che è sufficiente usare, la dimostrazione vale su tutti i campi, non solo su $RR$. e anche su qualcosa di più, se proprio vuoi
@blackbishop13: la cosa rilevante non è che si chiami $a$ o $b$ ma che in un caso lo $0$ è il secondo fattore e nell'altro caso è il primo fattore. La dimostrazione fatta è indipendente dal fatto che valga la proprietà commutativa del prodotto in generale.
"blackbishop13":
@ robbstark : se hai dimostrato che $a*0=0$ allora poi non hai bisogno di mostrare la stessa cosa per $b$ ovviamente, perchè $a$ è un elemento generico.
@ neptune: ma sei sicuro che l'altra freccia sia così immediata? già che ci siamo, come la dimostreresti?
comunque anch'io sono d'accordo con la dimostrazione proposta, e visto le proprietà che è sufficiente usare, la dimostrazione vale su tutti i campi, non solo su $RR$. e anche su qualcosa di più, se proprio vuoi
Questa è la dimostrazione completa che ho a disposizione:
- Proposizione: $a*b=0 iff a=0 vvv b=0$
- Dim:
($larr$) provo che $a*0=0$
$a*0=a*0+0$
$a*0=a*(0+0)$
$a*0+0=a*0+a*0$
$a*0=0$
- ($rarr$) suppongo $a*b=0$
se $a=0$ non ho più nulla da provare
supponiamo $a!=0$
$a*b$
$a^-1*(a*b)=a^-1*0$
$(a^-1*a)*b=0$
$1*b=0$
$b=0$
L'ho copiata direttamente dalla professoressa e sembra che tutto fili, per questo sono abbastanza sicuro. Semplicemente il primo pezzo non mi convinceva molto perchè mi sembrava troppo scontata la cosa per richiedere tutti quei passaggi come dimostrazione.
se avessi subito postato questo, ti avremmo semplicemente detto: è giusto!
tutto in ordine, spero solo che oltre che copiare dagli appunti hai capito!
tutto in ordine, spero solo che oltre che copiare dagli appunti hai capito!
"blackbishop13":
se avessi subito postato questo, ti avremmo semplicemente detto: è giusto!
tutto in ordine, spero solo che oltre che copiare dagli appunti hai capito!
Chiedo venia se vi ho fatto perdere tempo, del resto non mettevo in discussione l'esattezza della dimostrazione, in quanto è la cosa più banale del mondo.
Quello che mettevo in discussione è se tutti quei passaggi non si potevano assottigliare di molto, cioè, fare 3-4 passaggi per dire che un numero moltiplicato per l'elemento neutro da l'elemento neutro.. mi sembrava unospreco veramente. Anche perchè poi, tutti quei "magheggi" (non so se si usa anche dalle vostre parti questo termine
) sono difficili da ricordare.
"Neptune":Non è banale... è semplice.
Chiedo venia se vi ho fatto perdere tempo, del resto non mettevo in discussione l'esattezza della dimostrazione, in quanto è la cosa più banale del mondo.
"Neptune":Moltiplicato per l'elemento neutro della somma (non del prodotto), quindi a priori non si può dire nulla.
fare 3-4 passaggi per dire che un numero moltiplicato per l'elemento neutro da l'elemento neutro..
"Neptune":[/quote]
[quote="blackbishop13"]un numero moltiplicato per l'elemento neutro da l'elemento neutro..
sottolineo questo passaggio come ha già fatto Martino, ma è importante che noti la differenza:
$0$ è definito come neutro per la somma, non puoi sapere come si comporta con la moltiplicazione, devi appunto dimostrarlo.
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