Dimostrazione "Teorema di limitatezza locale"

[Cloudy1]

Il teorema è il seguente:



Sia una funzione f: X → R e sia x0 ∈ DX. Supponiamo che esiste finito lim(x -> x0) f(x) = l. Allora esiste un intorno Ixo ed esiste una costante M, tali che

| f(x) | < M per ogni x ∈ Ixo ∩ X - {x0}



Dimostrazione

Per ipotesi sappiamo che esiste il limite della funzione f ed è finito. Possiamo quindi considerare un intorno del tipo:

Jl = (l - 1, l + 1)

Applichiamo adesso la definzione di limite:

∃Ix0 : ∀ x ∈ Ix0 ∩ X - {x0} ⇒ f(x) ∈ (l - 1, l + 1)

da cui:

l - 1 < f(x) < l + 1

Abbiamo cosi dimostrato che la nostra funzione è limitata in Ix0 ∩ X - {x0}.

Fine.

Ho un dubbio...abbiamo cosi dimostrato che è f(x) < M ma non dovevamo dimostrare che era | f(x) | < M...la dimostrazione non è pertanto incompleta...???

[dissonance]

Hai dimostrato che la tua funzione, ristretta a $I_{x_0}$, assume valori in $[l-1, l+1]$. Questo insieme mi sembra limitato, a te no? Infatti ponendo $M=max(|l-1|, |l+1|)$, risulta che ogni $y \in [l-1, l+1]$ è tale che $|y|<=M$.