Dimostrazione "scontata"
Ragazzi sto impazzendo.
Nel link troverete l'immagine. $g^-1 ((a, -->]) = {x in X : g(x)>a} = {x in X: E n in N f_n(x)>a}$ ma perchè questo insieme è l'unione numerabile che dice lì??
Ragazzi non scrivo da molto qui, non ricordo come scrivere bene le formule. Quella E è un esiste... insomma.. si capisce. Grazie a tutti.
Nel link troverete l'immagine. $g^-1 ((a, -->]) = {x in X : g(x)>a} = {x in X: E n in N f_n(x)>a}$ ma perchè questo insieme è l'unione numerabile che dice lì??
Ragazzi non scrivo da molto qui, non ricordo come scrivere bene le formule. Quella E è un esiste... insomma.. si capisce. Grazie a tutti.
Risposte
Basta fare un po' di conti.
Sia \(g(x)=\sup_n f_n(x)\).
Si ha \(x\in g^{-1}(]a,+\infty])\) se e solo se \(g(x)>a\) e, per le proprietà dell'estremo superiore, esiste un \(\nu\) tale che \(g(x)\geq f_\nu (x)>a\); perciò \(x\in g^{-1}(]a,+\infty])\) se solo se \(x\in f_\nu^{-1}(]a,+\infty])\) per qualche \(\nu\).
Da qui all'unione il passo è breve.
Sia \(g(x)=\sup_n f_n(x)\).
Si ha \(x\in g^{-1}(]a,+\infty])\) se e solo se \(g(x)>a\) e, per le proprietà dell'estremo superiore, esiste un \(\nu\) tale che \(g(x)\geq f_\nu (x)>a\); perciò \(x\in g^{-1}(]a,+\infty])\) se solo se \(x\in f_\nu^{-1}(]a,+\infty])\) per qualche \(\nu\).
Da qui all'unione il passo è breve.
Fino a poco prima dell'unione mi era tutto molto chiaro, comprensivo di proprietà del sup etc... (famosi teoremini dei primi mesi di Università, ricordo ancora quando il prof di analisi 1 disse.. Vi serviranno anche in istituzioni di analisi.. eccolo qui).
Il mio dubbio era appunto sulla formalizzazione dell'Unione... Penso di esserci riuscito inr ealtà, però magari per confronto o per conferma, sarei grato se me ne parlassi..
La mia versione è.. x è elemento della controimmagine di g se e solo se.......[...]... .
Quindi questa ocntroimmagine posso scriverla così
${x in X : f_1(x)>a} U {x in X : f_2(x)>a} U {x in X : f_3(x)>a} U .. U {x in X : f_n(x)>a} U ...$
Giusto? E questa sarebbe appunto quell'unione numerabile di cui parla il rudin..
Che ne pensi?
Il mio dubbio era appunto sulla formalizzazione dell'Unione... Penso di esserci riuscito inr ealtà, però magari per confronto o per conferma, sarei grato se me ne parlassi..
La mia versione è.. x è elemento della controimmagine di g se e solo se.......[...]... .
Quindi questa ocntroimmagine posso scriverla così
${x in X : f_1(x)>a} U {x in X : f_2(x)>a} U {x in X : f_3(x)>a} U .. U {x in X : f_n(x)>a} U ...$
Giusto? E questa sarebbe appunto quell'unione numerabile di cui parla il rudin..
Che ne pensi?
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