Dimostrazione "ogni successione convergente è limitata"

[smaug1]

Ragazzi salve! sono nuovo e frequento la facoltà di ingegneria a tor vergata, nella dimostrazione di questo teorema ho dei dubbi!

la dimostrazione dice che an-->a e E=1. Per definizione esiste V(E) t.c. Ian-aI<1 per ogni n>V.
con la disuguaglianza triangolare si ha:
IanI= I(an-a) + aI _< Ian-aI +IaI "<" e non _< 1+ IaI per ogni n>V

Oltre a quell'uguale senza minore, non capisco la fine. Ovvero perchè per ogni n che appartiene a N si ha Ian I_< M=max( Ia1I,Ia2I.....IavI, 1 + IaI???? M massimo fra cosa? e perchè?

Spero di essere stato chiaro!!!

[Paolo902]

Ciao,

benvenuto tra noi.
Ti consiglio di dare un'occhiata al regolamento, in particolare a come scrivere le formule mediante gli appositi compilatori (cfr. in alto, nella striscia rosa sopra la pagina).

Ad ogni modo, per quanto concerne la Matematica: l'affermazione che vuoi provare è molto semplice. L'idea è che se una successione (di numeri reali) converge, allora "la coda vive in una striscia" (magari un disegnino può aiutare).

Detto altrimenti, scrivi - proprio come hai fatto - la definizione di limite prendendo $epsilon=1$. In corrispondenza di detto $epsilon$, esiste - per definizione di limite - un $n_0 \in \NN$ tale che se $n > n_0$ allora $|a_n-a|
Ebbene, hai sistemato tutti i termini dopo $n_0$: restano quelli prima che però sono in numero finito (magari anche moltissimi ma sempre finiti: ti è chiaro, no?). Ebbene, allora nei puoi prendere il massimo: $m := max_{n \le n_0} |a_n|$.

Ora, se prendi il massimo tra i due valori $M:= \max\{m, |a|+1\}$ valgono entrambe le disuguaglianze. E quindi, finalmente, $|a_n| < M$ per ogni $n \in NN$ cioè $a_n$ è limitata.

Più chiaro?

[smaug1]

Molto più chiaro, quindi io devo prendere come M il massimo del valore della successione an (che potrebbe essere a1 o a2 o av sommato a 1, e per questo inoltre c'è il minore "stretto" IanI< 1 +IaI....) così facendo sono ho considerato anche gli n

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[Paolo902]

Non ho capito benissimo quello che vuoi dire. Comunque la questione minore o uguale o minore (stretto) è del tutto irrilevante. L'importante è che la successione non assuma valori arbitrariamente grandi, ovvero che resti sotto controllo.

In maniera più incisiva: sistemi quelli da $n_0$ in poi (stanno tutti tra $|a|-1$ e $|a|+1$).
Ora sistema quelli prima prendendone il max, $m$.

Ora fai in modo che valgano entrambe (prendi il max tra $|a|+1$ e $m$) e sei a posto.