Dimostrazione "lemma fondamentale"
Sto studiando i principi variazionali e mi sono trovato di fronte a questo "lemma fondamentale" di cui non è riportata la dimostrazione.
Sia h(x) una funzione continua in [a,b]. Se per ogni s(x), derivabile due volte in [a,b] e t.c. s(a)=s(b)=0, risulta:
$\int_a^bs(x)*h(x)dx=0$
necessariamente si ha che h(x)=0
Per puro masochismo ho cercato di dimostrarlo ma vuoi l'ora, vuoi la ruggine formatasi su analisi, sono bloccato
L'unica cosa che mi è venuta in mente è integrare per parti ottenendo:
$\int_a^bs(x)*h(x)dx=0$ ==>$s(x)H(x)|_a^b-\int_a^bs'(x)*H(x)dx=-\int_a^bs'(x)*H(x)dx=0$
(con H(x) integrale di h(x)) annullandosi $s(x)H(x)|_a^b$ poichè deve valere la condizione s(a)=s(b)=0
Più di così, al momento, non so avanzare...
Qualche idea?
Grazie
Sia h(x) una funzione continua in [a,b]. Se per ogni s(x), derivabile due volte in [a,b] e t.c. s(a)=s(b)=0, risulta:
$\int_a^bs(x)*h(x)dx=0$
necessariamente si ha che h(x)=0
Per puro masochismo ho cercato di dimostrarlo ma vuoi l'ora, vuoi la ruggine formatasi su analisi, sono bloccato
L'unica cosa che mi è venuta in mente è integrare per parti ottenendo:
$\int_a^bs(x)*h(x)dx=0$ ==>$s(x)H(x)|_a^b-\int_a^bs'(x)*H(x)dx=-\int_a^bs'(x)*H(x)dx=0$
(con H(x) integrale di h(x)) annullandosi $s(x)H(x)|_a^b$ poichè deve valere la condizione s(a)=s(b)=0
Più di così, al momento, non so avanzare...
Qualche idea?
Grazie
Risposte
Ma infatti non è un risultato immediato. Questo è un caso particolare (\(n=1\)) di un teorema generale che enunciamo subito:
Teorema (fondamentale del calcolo delle variazioni lo chiamano alcuni)
Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) un aperto e \(f \in L^1_{\rm{loc}}(\Omega)\). Se per ogni \(s \in C^\infty_c(\Omega) \) risulta che
\[\int_\Omega f(x)s(x)\, dx=0, \]
allora \(f=0\) q.o. su \(\Omega\).
Esistono molte possibili dimostrazioni di questo teorema, e tutte fanno uso di qualche strumento relativamente avanzato di analisi: ad esempio si può usare la regolarizzazione per convoluzione, oppure la teoria di Fourier. Il caso di cui ti stai occupando, però, è unidimensionale e ci possiamo semplificare considerevolmente la vita usando teoremi e concetti tipici degli integrali sugli intervalli. Puoi guardare su Salsa-Pagani Analisi matematica vol. II, pag. 570-571.
Teorema (fondamentale del calcolo delle variazioni lo chiamano alcuni)
Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) un aperto e \(f \in L^1_{\rm{loc}}(\Omega)\). Se per ogni \(s \in C^\infty_c(\Omega) \) risulta che
\[\int_\Omega f(x)s(x)\, dx=0, \]
allora \(f=0\) q.o. su \(\Omega\).
Esistono molte possibili dimostrazioni di questo teorema, e tutte fanno uso di qualche strumento relativamente avanzato di analisi: ad esempio si può usare la regolarizzazione per convoluzione, oppure la teoria di Fourier. Il caso di cui ti stai occupando, però, è unidimensionale e ci possiamo semplificare considerevolmente la vita usando teoremi e concetti tipici degli integrali sugli intervalli. Puoi guardare su Salsa-Pagani Analisi matematica vol. II, pag. 570-571.
Innanzitutto grazie per la risposta 
Anche se hai il libro sottomano riporto quanto dice il Pagani Salsa, casomai qualcuno volesse intervenire.
Sia g continua e integrabile in (a,b). Se
$\int_a^bg(x)r'(x)dx=0$ (metto r'(x) invece del h'(x) del libro per non creare confusione con la mia precedente formula)
per ogni $rinC^1(a,b)$ t.c. $r(a)=r(b)=0$, allora g(x) è costante in (a,b)
Confrontandola con quella che ho ottenuto integrando per parti (di cui tralascio per ovvie ragioni il segno -):
$\int_a^bs'(x)*H(x)dx=0$
se ne deduce che, per il precedente teorema tratto dal P.-S., la mia H(x) è costante.
A questo punto non mi resta che dire che, essendo H(x) l'integrale di h(x), allora giocoforza h(x)=0
Può andare come dimostrazione?
Anche se hai il libro sottomano riporto quanto dice il Pagani Salsa, casomai qualcuno volesse intervenire.
Sia g continua e integrabile in (a,b). Se
$\int_a^bg(x)r'(x)dx=0$ (metto r'(x) invece del h'(x) del libro per non creare confusione con la mia precedente formula)
per ogni $rinC^1(a,b)$ t.c. $r(a)=r(b)=0$, allora g(x) è costante in (a,b)
Confrontandola con quella che ho ottenuto integrando per parti (di cui tralascio per ovvie ragioni il segno -):
$\int_a^bs'(x)*H(x)dx=0$
se ne deduce che, per il precedente teorema tratto dal P.-S., la mia H(x) è costante.
A questo punto non mi resta che dire che, essendo H(x) l'integrale di h(x), allora giocoforza h(x)=0
Può andare come dimostrazione?
Può andare, certo.
Bene
Approfitto della tua disponibilità per chiederti una cosa che, per quanto secondaria, mi ha lasciato perplesso.
Nel Pagani-Salsa quando si va a dimostrare il lemma 2.4 (pag 570; per quelli che non hanno il libro, è quello che mi ha suggerito Dissonance per venire a capo della mia dimostrazione) vengono assunti dei valori "furbi" di c e di h(x), entrambi dipendenti da g(x):
- proprio il fatto che per ipotesi g(x) debba essere continua e integrabile in (a,b), e quindi possa essere ogni funzione che mi soddisfa questi due requisiti, mi consente di dire che la h(x) che vado a costruire "a tavolino" ricada nel novero dei "per ogni $h(x)inC^1$ in ([a,b] e t.c. h(a)=h(b)=0"?
- sempre nella dimostrazione, quando vanno a sostituire nel prodotto da integrare la h'(x) con quella ottenibile dalla h(x) di cui sopra, non riesco a capire il secondo passaggio in cui "magicamente" compare la differenza tra due integrali. Non è che sai spiegarmelo?
PS: Grazie ancora per l'aiuto
Approfitto della tua disponibilità per chiederti una cosa che, per quanto secondaria, mi ha lasciato perplesso.
Nel Pagani-Salsa quando si va a dimostrare il lemma 2.4 (pag 570; per quelli che non hanno il libro, è quello che mi ha suggerito Dissonance per venire a capo della mia dimostrazione) vengono assunti dei valori "furbi" di c e di h(x), entrambi dipendenti da g(x):
- proprio il fatto che per ipotesi g(x) debba essere continua e integrabile in (a,b), e quindi possa essere ogni funzione che mi soddisfa questi due requisiti, mi consente di dire che la h(x) che vado a costruire "a tavolino" ricada nel novero dei "per ogni $h(x)inC^1$ in ([a,b] e t.c. h(a)=h(b)=0"?
- sempre nella dimostrazione, quando vanno a sostituire nel prodotto da integrare la h'(x) con quella ottenibile dalla h(x) di cui sopra, non riesco a capire il secondo passaggio in cui "magicamente" compare la differenza tra due integrali. Non è che sai spiegarmelo?
PS: Grazie ancora per l'aiuto
Beh? E la mia riposta che fine ha fatto? Ero convinto di averla scritta, ieri sera... O ho sognato oppure per qualche problema tecnico si è cancellata. Mannaggia alla miseria, mannaggia.
Qua non s'è visto niente
Se hai voglia di riscriverla te ne sarei grato
Se hai voglia di riscriverla te ne sarei grato
Vabbè. Allora, la risposta alla prima domanda è si: essendo \( g\) continua la funzione integrale è di classe \( C^1\) ed essendo integrabile ha senso calcolarne la media integrale che il libro chiama \( c\). Senza queste richieste le cose si sarebbero complicate. Per quanto riguarda la seconda domanda, mi pare fosse solo questione di aggiungere e sottrarre. Prova a giocherellarci un po', se non ci riesci tiro il libro giù dallo scaffale.
Per la prima ok, ci sono.
Per la "manipolazione" della seconda vado in palla. Innanzitutto ci sono sul perchè deva essere:
$\intg(x)[g(x)-c]dx=0$
ma proprio non riesco a capire come fà ad arrivare a:
$\int[g(x)-c]^2dx=0$ ==> $\int[g(x)]^2-2cg(x)+c^2dx=0$
Voglio dire, non capisco il passaggio che mi permette di dire che:
$\intg(x)[g(x)-c]dx=\intg(x)[g(x)-c]dx-c\int[g(x)-c]dx$
a meno che $c\int[g(x)-c]dx$ non si annulli, cosa che non mi pare proprio
PS: grazie comunque per l'aiuto
Per la "manipolazione" della seconda vado in palla. Innanzitutto ci sono sul perchè deva essere:
$\intg(x)[g(x)-c]dx=0$
ma proprio non riesco a capire come fà ad arrivare a:
$\int[g(x)-c]^2dx=0$ ==> $\int[g(x)]^2-2cg(x)+c^2dx=0$
Voglio dire, non capisco il passaggio che mi permette di dire che:
$\intg(x)[g(x)-c]dx=\intg(x)[g(x)-c]dx-c\int[g(x)-c]dx$
a meno che $c\int[g(x)-c]dx$ non si annulli, cosa che non mi pare proprio
PS: grazie comunque per l'aiuto
E invece è proprio così. \(g(x)-c\) ha media nulla quindi
\[\int_a^b \left[ g(x) - c \right] \, dx = 0.\]
\[\int_a^b \left[ g(x) - c \right] \, dx = 0.\]
C'hai ragione 
Grazie ancora
Grazie ancora
Insomma, per dire che:
$\int_a^b[g(x)-c]dx=0$ (*)
bastava fare questo ragionamento:
$\int_a^b[g(x)-c]dx=\int_a^bg(x)dx-c\int_a^bdx=\int_a^bg(x)dx-c[b-a]=\int_a^bg(x)dx-\int_a^bg(x)dx=0$
Mi incasinavo perchè andavo a sostituire la definizione di c direttamente nella (*)
Grazie ancora per la pazienza
$\int_a^b[g(x)-c]dx=0$ (*)
bastava fare questo ragionamento:
$\int_a^b[g(x)-c]dx=\int_a^bg(x)dx-c\int_a^bdx=\int_a^bg(x)dx-c[b-a]=\int_a^bg(x)dx-\int_a^bg(x)dx=0$
Mi incasinavo perchè andavo a sostituire la definizione di c direttamente nella (*)
Grazie ancora per la pazienza
Oppure puoi vederla così, con un approccio più probabilistico:
\[\frac{1}{(b-a)}\int_a^b[g(x)-c]\, dx=0 \]
il che è chiaro: stai calcolando la media (=il valore atteso, se vuoi) di una cosa a media nulla per costruzione. Moltiplicando per \(b-a\) ottieni
\[\int_a^b [g(x)-c]\, dx=0.\]
\[\frac{1}{(b-a)}\int_a^b[g(x)-c]\, dx=0 \]
il che è chiaro: stai calcolando la media (=il valore atteso, se vuoi) di una cosa a media nulla per costruzione. Moltiplicando per \(b-a\) ottieni
\[\int_a^b [g(x)-c]\, dx=0.\]
Vero!!
Però non mi è mai piaciuta la parte probabilistica della matematica, quindi cerco di tenermene alla larga
In definitiva la "furbata" nella dimostrazione del lemma stava nel usare quella che tu giustamente chiamai "cosa a media nulla per costruzione", giusto?
Però non mi è mai piaciuta la parte probabilistica della matematica, quindi cerco di tenermene alla larga
In definitiva la "furbata" nella dimostrazione del lemma stava nel usare quella che tu giustamente chiamai "cosa a media nulla per costruzione", giusto?
Giusto. E sono d'accordo sul fatto che sia una furbata. Qui sostanzialmente abbiamo un teorema generale, che enunciavo nel primo post, da dimostrarsi con tecniche avanzate; ma se ci riduciamo ad una sola dimensione, e se parliamo solo di funzioni continue, allora possiamo fare questo gioco di prestigio e dimostrarlo con tecniche elementari.
Per la riuscita di questo gioco è fondamentale non tanto la possibilità di passare ad una funzione a media nulla (la \(g(x)-c\) del testo), quanto la possibilità di prendere una primitiva di \(g\). Se \(g\) non fosse stata continua oppure se la dimensione dello spazio fosse stata \(2\) o più questo non sarebbe stato possibile e allora addio furbata.
Per la riuscita di questo gioco è fondamentale non tanto la possibilità di passare ad una funzione a media nulla (la \(g(x)-c\) del testo), quanto la possibilità di prendere una primitiva di \(g\). Se \(g\) non fosse stata continua oppure se la dimensione dello spazio fosse stata \(2\) o più questo non sarebbe stato possibile e allora addio furbata.
Chiarissimo come sempre
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo