Dimostrazione "diversa" del T. di Weierstrass
Buongiorno a tutti
preparando l'orale di analisi I ho tra i teoremi da dimostrare quello di Weierstrass che ci assicura min e max per una funzione continua in un intervallo chiuso limitato (abbastanza fondamentale
) , premetto che non riesco a frequentare le lezioni e che mi preparo da solo a casa dopo il lavoro quindi perdonamenti se ho qualche lacuna o non mi esprimo in modo rigoroso.
Dagli appunti che ho delle lezioni, ma anche da libri di testo e da ciò che si trova in rete la dimostrazione del T di Weierstrass è sempre quella , si utilizza il concetto di successione limitata nell'intervallo chiuso limitato per estrarre una sottosuccessione convergente ecc...
Provandola per l'orale la trovo macchinosa , quasi faccio fatica a convicermene, allora pensandoci sopra ho pensato che per dimostrare il T di W mi basterebbe dimostrare che il codominio di f per ogni x $in$ [a,b] sia anchesso chiuso e limitato , per la caratterizzazione degli estremi conterrà i propri estremi (giusto?).
Che sia limitato si dimostra facilmente sfruttando l'ipotesi di continuità della funzione
ponendo per assurdo $\lim_{x \to \xo-}f(x) = lim_{x \to \x0+}f(x)= +infty $ , dichiaro praticamente che il cod non sia limitato ma questo porterebbe a una discontinuità di seconda specie per cui risulterebbe assurdo.
Ora per la dimostrazione che sia chiuso utilizzo il Teorema dei valori Intermedi , dove le ipotesi dei Valori intermedi sono verificate dalle ipotesi poste per Weierstrass, con risultato che per ogni $ y1,y2 in f[a,b]\ (con\ y1
Spero di non aver scritto una "bestemmia"
ringrazio tutti quelli che interverranno per aiutarmi a capire i miei errori e mi scuso ancora per la poco rigorosità
un saluto a tutti
preparando l'orale di analisi I ho tra i teoremi da dimostrare quello di Weierstrass che ci assicura min e max per una funzione continua in un intervallo chiuso limitato (abbastanza fondamentale
) , premetto che non riesco a frequentare le lezioni e che mi preparo da solo a casa dopo il lavoro quindi perdonamenti se ho qualche lacuna o non mi esprimo in modo rigoroso.Dagli appunti che ho delle lezioni, ma anche da libri di testo e da ciò che si trova in rete la dimostrazione del T di Weierstrass è sempre quella , si utilizza il concetto di successione limitata nell'intervallo chiuso limitato per estrarre una sottosuccessione convergente ecc...
Provandola per l'orale la trovo macchinosa , quasi faccio fatica a convicermene, allora pensandoci sopra ho pensato che per dimostrare il T di W mi basterebbe dimostrare che il codominio di f per ogni x $in$ [a,b] sia anchesso chiuso e limitato , per la caratterizzazione degli estremi conterrà i propri estremi (giusto?).
Che sia limitato si dimostra facilmente sfruttando l'ipotesi di continuità della funzione
ponendo per assurdo $\lim_{x \to \xo-}f(x) = lim_{x \to \x0+}f(x)= +infty $ , dichiaro praticamente che il cod non sia limitato ma questo porterebbe a una discontinuità di seconda specie per cui risulterebbe assurdo.
Ora per la dimostrazione che sia chiuso utilizzo il Teorema dei valori Intermedi , dove le ipotesi dei Valori intermedi sono verificate dalle ipotesi poste per Weierstrass, con risultato che per ogni $ y1,y2 in f[a,b]\ (con\ y1
Spero di non aver scritto una "bestemmia"
ringrazio tutti quelli che interverranno per aiutarmi a capire i miei errori e mi scuso ancora per la poco rigorosità
un saluto a tutti
Risposte
Cosa c’entra il T.d.V.I. con la chiusura?
Infatti, non è chiaro come dimostri che l'immagine di $f$ è chiusa. Esistono comunque dimostrazioni di questo teorema che non usano le sottosuccessioni, io per esempio ad analisi 1 ne propongo una (non di mia invenzione) che mi permette di non introdurre le sottosuccessioni, che sono un concetto troppo difficile secondo me nell'ambito dell'analisi 1.
Di fatti mi son rivolto a voi per capire se poteva filare, ho letto il T. dei Valori Intermedi scritto almeno in un paio d modi diverso, forse m'ha portato a fare confusione o forse non ho ben capito il suo riscontro pratico, di certo non volevo inventarmi matematico ma per non imparare le dimostrazioni a memoria provo a ragionarci sopra, alle volte mettendoci del mio, ma non avendo riscontri poi non son mai certo delle mie conclusioni.
Tornando al al T dei valori intermedi, non mi dimostra la chiusura, però (e questa è una domanda) si potrebbe ragionare così (correggetemi vi prego che mi aiutate a capire, oltretutto arrivando da un percorso non liceale ho poca dimestichezza con le dimostrazioni, sto facendo tutto self-made):
-se min e max non combaciano f(a) ed f(b) col teorema dei valori intermedi dimostro (forse?) che min e max $ in\ f]a,b[$
-se min e max combaciano con f(a) e f(b) posso dimostrare tramite la continuità che $ in\ f[a,b]$
ti sarei molto grato se m'illustrassi questa dimostrazione !
grazie ragazzi dell'aiuto
Tornando al al T dei valori intermedi, non mi dimostra la chiusura, però (e questa è una domanda) si potrebbe ragionare così (correggetemi vi prego che mi aiutate a capire, oltretutto arrivando da un percorso non liceale ho poca dimestichezza con le dimostrazioni, sto facendo tutto self-made):
-se min e max non combaciano f(a) ed f(b) col teorema dei valori intermedi dimostro (forse?) che min e max $ in\ f]a,b[$
-se min e max combaciano con f(a) e f(b) posso dimostrare tramite la continuità che $ in\ f[a,b]$
"Luca.Lussardi":
Infatti, non è chiaro come dimostri che l'immagine di $ f $ è chiusa. Esistono comunque dimostrazioni di questo teorema che non usano le sottosuccessioni, io per esempio ad analisi 1 ne propongo una (non di mia invenzione) che mi permette di non introdurre le sottosuccessioni, che sono un concetto troppo difficile secondo me nell'ambito dell'analisi 1.
ti sarei molto grato se m'illustrassi questa dimostrazione !
grazie ragazzi dell'aiuto
"J.B":
-se min e max non combaciano f(a) ed f(b) col teorema dei valori intermedi dimostro (forse?) che min e max $ in\ f]a,b[$
-se min e max combaciano con f(a) e f(b) posso dimostrare tramite la continuità che $ in\ f[a,b]$
Cosa vuol dire?
"Luca.Lussardi":
[quote="J.B"]
-se min e max non combaciano f(a) ed f(b) col teorema dei valori intermedi dimostro (forse?) che min e max $ in\ f]a,b[ $
-se min e max combaciano con f(a) e f(b) posso dimostrare tramite la continuità che $ in\ f[a,b] $
Cosa vuol dire?[/quote]
hai ragione mi spiego male, forse ho in testa un concetto che essendo sbagliato è anche difficile da trasmettere, ci riprovo,
il T di W mi assicura min e max all'interno dell'immagine di f (continua) dell'intervallo chiuso e limitato [a,b] ,
avevo già dimostrato che l'immagine di f fosse limitata, quindi che inf e sup $!=\infty$ ,
allora per poter dimostrare tale teorema mi rimane da dimostrare la chiusura dell'immagine di f,
ora considero 2 tipologie di punti appartenenti all'immagine di f
-estremi destro e sinistro , cioè f(a) e f(b), grazie all'ipotesi della continuità è dimostrabile che f(a),f(b) appartengano all'immagine di f , di fatti se f non fosse definita in "a" allora non sarebbe neanche continua
-punti interni all immagine di f ( f ]a,b[ ) allora in questo caso potrei applicare il T dei Valori Intermedi in quanto avendo dimostrato nel punto precedente che f(a),f(b) $in\f[a,b]$ allora f[a,b] connesso
questi due punti non provano la chiusura dell'immagine di f?
La cosa che più mi fa logorare è che questo teorema lo trovo quasi immediato, basta tracciare un piccolo grafico rispettando le ipotesi date che salta agli occhi subito quanto sia vero, eppure la dimostrazione mi pone in difficoltà e non poca.
grazie ancora a tutti per l'interesse
"J.B":
-estremi destro e sinistro , cioè f(a) e f(b), grazie all'ipotesi della continuità è dimostrabile che f(a),f(b) appartengano all'immagine di f , di fatti se f non fosse definita in "a" allora non sarebbe neanche continua
Per dire che $f(a),f(b)$ stanno nell'immagine di $f$ non ti serve la continuità... è la definizione di immagine.
"J.B":
-punti interni all immagine di f ( f ]a,b[ ) allora in questo caso potrei applicare il T dei Valori Intermedi in quanto avendo dimostrato nel punto precedente che f(a),f(b) $in\f[a,b]$ allora f[a,b] connesso
questi due punti non provano la chiusura dell'immagine di f?
No, io non vedo come mai.
"Luca.Lussardi":
[quote="J.B"]
-estremi destro e sinistro , cioè f(a) e f(b), grazie all'ipotesi della continuità è dimostrabile che f(a),f(b) appartengano all'immagine di f , di fatti se f non fosse definita in "a" allora non sarebbe neanche continua
Per dire che $ f(a),f(b) $ stanno nell'immagine di $ f $ non ti serve la continuità... è la definizione di immagine.
"J.B":
-punti interni all immagine di f ( f ]a,b[ ) allora in questo caso potrei applicare il T dei Valori Intermedi in quanto avendo dimostrato nel punto precedente che f(a),f(b) $ in\f[a,b] $ allora f[a,b] connesso
questi due punti non provano la chiusura dell'immagine di f?
No, io non vedo come mai.[/quote]
chiedo scusa per l'insistenza ma se il mio è un pensiero sbagliato devo slegarmene,
un insieme chiuso non è un insieme a cui appartengono tutti i propri punti d'accumulazione?
l'immagine di f non è un'insieme che contiente tutti i propri punti d'accumulazione?
l'immagine di f è un intervallo connesso in quanto immagine di una funzione continua di un intervallo chiuso e limitato (giusto?)
i punti d'accumulazione sono i punti interni e i punti di frontiera giusto? e tutti questi punti appartengono all'immagine di f, no?
ti ringrazio molto Luca per il tuo interesse
"J.B":
un insieme chiuso non è un insieme a cui appartengono tutti i propri punti d'accumulazione?
si
"J.B":
l'immagine di f non è un'insieme che contiente tutti i propri punti d'accumulazione?
si, se è chiuso... non sempre lo è, il fatto che lo sia è parte del teorema di Weierestrass.
"J.B":
l'immagine di f è un intervallo connesso in quanto immagine di una funzione continua di un intervallo chiuso e limitato (giusto?)
si, direi intervallo e basta, i soli connessi in $\mathbb R$ sono gli intervalli.
"J.B":
i punti d'accumulazione sono i punti interni e i punti di frontiera giusto? e tutti questi punti appartengono all'immagine di f, no?
e perché? Forse stai pensando che $f(a),f(b)$ stiano alla frontiera dell'immagine ma mica è vero in generale.
"Luca.Lussardi":
[quote="J.B"]
i punti d'accumulazione sono i punti interni e i punti di frontiera giusto? e tutti questi punti appartengono all'immagine di f, no?
e perché? Forse stai pensando che $ f(a),f(b) $ stiano alla frontiera dell'immagine ma mica è vero in generale.[/quote]
ok certo f(a) e f(b) non sono di frontiera per l'immagine in generale, i punti di frontiera per l'immagine di f sono min e max
ma max e min staranno in f[a,b] , giusto?
vi saranno un x' e un x'' t.c. per ogni x $in\[a,b]\ f(x')<=f(x)<=f(x'')$ ,
questi f(x')=min e f(x'')=max appartengono all'immagine di f ,no?
ed essendone punti di frontiera non verificano che f[a,b] sia chiuso ?
Eh ma questa è la tesi del Teorema di Weierstrass, non è la dimostrazione...
ok ci mollo con quest'idea, m avete fatto capire che non è dimostrabile così, continuerò con la dimostrazione tramite le sottosuccessioni
grazie a tutti quelli che son intervenuti sopratutti Luca.Lussardi
grazie a tutti quelli che son intervenuti sopratutti Luca.Lussardi
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