Dimostrazione punto estremante derivata
Salve a tutti, non riesco a dimostrare il seguente:
Sia \(\displaystyle f \) una funzione continua in un intorno \(\displaystyle I \) di $x_0$, e derivabile in \(\displaystyle I \) tranne al più in $x_0$ .
Se $x_0$ è un punto di massimo relativo per \(\displaystyle f \) allora esiste un intorno sinistro di $x_0$ in cui $f'>=0$ e un intorno destro di $x_0$ in cui $f'<=0$ .
In pratica a me interessa la dimostrazione nel caso in cui la funzione è continua ma non derivabile in $x_0$.
Sia \(\displaystyle f \) una funzione continua in un intorno \(\displaystyle I \) di $x_0$, e derivabile in \(\displaystyle I \) tranne al più in $x_0$ .
Se $x_0$ è un punto di massimo relativo per \(\displaystyle f \) allora esiste un intorno sinistro di $x_0$ in cui $f'>=0$ e un intorno destro di $x_0$ in cui $f'<=0$ .
In pratica a me interessa la dimostrazione nel caso in cui la funzione è continua ma non derivabile in $x_0$.
Risposte
Ciao 7C2,
Tipo $f(x) = - |x| $?
Non è complicato: usa la definizione di continuità ed il teorema della permanenza del segno.
Tipo $f(x) = - |x| $?
Non è complicato: usa la definizione di continuità ed il teorema della permanenza del segno.
Suggerimento: se per assurdo in ogni intorno sinistro di $x_0$ fosse $f'(x)<0$ oppure in ogni intorno destro di $x_0$ fosse $f'(x)>0$, cosa succederebbe usando che $x_0$ è punto di massimo relativo per $f$?
Grazie a entrambi per le risposte
La funzione che hai scritto è solo un esempio. Io cerco la dimostrazione del teorema con il " tranne al più $x_0$", quindi, essendo la funzione non derivabile in $x_0$, non si può utilizzare il limite del rapporto incrementale come nella classica dimostrazione del teorema in cui la funzione è derivabile in $x_0$.
Sì avevo provato per assurdo. Ma la tesi è "esiste un intorno sinistro di $x_0$ diciamo un intorno $(x_0,b)$ per ogni $x$ del quale $f'>=0$". Negare questa tesi quindi significa "In tutti gli intorni sinistri di $x_0$ esiste un $x$ appartenente all'intorno per cui $f'<0$"
"pilloeffe":
Ciao 7C2,
Tipo $ f(x) = - |x| $?
Non è complicato: usa la definizione di continuità ed il teorema della permanenza del segno.
La funzione che hai scritto è solo un esempio. Io cerco la dimostrazione del teorema con il " tranne al più $x_0$", quindi, essendo la funzione non derivabile in $x_0$, non si può utilizzare il limite del rapporto incrementale come nella classica dimostrazione del teorema in cui la funzione è derivabile in $x_0$.
"Mephlip":
Suggerimento: se per assurdo in ogni intorno sinistro di $ x_0 $ fosse $ f'(x)<0 $ oppure in ogni intorno destro di $ x_0 $ fosse $ f'(x)>0 $, cosa succederebbe usando che $ x_0 $ è punto di massimo relativo per $ f $?
Sì avevo provato per assurdo. Ma la tesi è "esiste un intorno sinistro di $x_0$ diciamo un intorno $(x_0,b)$ per ogni $x$ del quale $f'>=0$". Negare questa tesi quindi significa "In tutti gli intorni sinistri di $x_0$ esiste un $x$ appartenente all'intorno per cui $f'<0$"
"7C2":
La funzione che hai scritto è solo un esempio.
Certamente.
"7C2":
non si può utilizzare il limite del rapporto incrementale come nella classica dimostrazione del teorema in cui la funzione è derivabile in $x_0$.
Devi fare il contrario: partire dalla definizione di continuità e poi dimostrare che esiste la derivata negativa in un intorno destro di $x_0$ e positiva in un intorno sinistro di $x_0$, NON in $x_0$...
Dai un'occhiata ad esempio qui.
Ma sei sicuro/a che sia vera? È un esercizio o è venuto in mente a te?
"otta96":
Ma sei sicuro/a che sia vera?
Se intendi sapere se è un teorema che ho trovato su qualche testo, la risposta è no.
"pilloeffe":
[quote="7C2"]non si può utilizzare il limite del rapporto incrementale come nella classica dimostrazione del teorema in cui la funzione è derivabile in $ x_0 $.
Devi fare il contrario: partire dalla definizione di continuità e poi dimostrare che esiste la derivata negativa in un intorno destro di $ x_0 $ e positiva in un intorno sinistro di $ x_0 $, NON in $ x_0 $...
Dai un'occhiata ad esempio qui.[/quote]
Parto dall'ipotesi, cioè che $x_0$ è un punto di massimo relativo, quindi $f(x_0) >=f(x)$ $forall x in I$ , poi purtroppo anche con i tuoi suggerimenti non ho capito come faccio a dimostrare che esiste un intorno sinistro in cui ogni $x$ del quale ha derivata maggiore o uguale di 0, e un intorno destro i cui punti hanno derivata minore o uguale di 0
Lascio a te di controllare tutti i dettagli ma mi pare che $(sin(1/x)+2)x^2$ sia un controesempio. Per di più anche derivabile.
"otta96":
Lascio a te di controllare tutti i dettagli ma mi pare che $(sin(1/x)+2)x^2$ sia un controesempio. Per di più anche derivabile.
Credo che tu ti riferisca alla funzione \(\displaystyle f(x):= \begin{cases} x^2 (sin \frac{1}{x} +2) &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases} \)
Nel punto $x_0 = 0$ , la funzione è continua ed è anche derivabile (il limite del rapporto incrementale in 0 è 0). Il punto $x_0=0$ è un punto di minimo. La derivata per $xne0$ è $ 2x(sin(1/x)+2)-cos(1/x) $ e quindi non esiste nessun intorno destro per ogni x del quale la derivata è maggiore o uguale di 0.
Ma a questo punto non è nemmeno vero che se $x_0$ è un punto di massimo relativo e la funzione è ivi continua e derivabile, esistono un intorno sinistro in cui $f'>=0$ e un intorno destro in cui $f'<=0$.
Ero di fretta perché dovevo uscire e non sono stato preciso, non ho messo nemmeno il $-$, ma tanto ho visto che hai capito lo stesso. Sì, è anche derivabile, e questo non mi ero nemmeno dimenticato di scriverlo 
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