Dimostrazione proprietà successione

[Sk_Anonymous]

E' possibile dimostrare che:
Data una successione $a_n$ che soddisfa $lim_(n->+oo) a_n=L$ con $L>0$ e una successione $b_n=root(n)a_n$
Allora $lim_(x->+oo) b_n=1$

[Mino_01]

Certamente.
E' un risultato classico.

Dato che:
$ b_n=e^(1/nloga_n) $ intorno a $+oo$;
continuità della funzione esponenziale;

Ciao Mino

[BoG3]

Scusate se mi intrometto ma si potrebbe spiegare così ? :

$lim_(n->\infty)a_n \in RR => b_n:=\root(n)(a_n) = n^(1/n)$ e passando il tutto a limite per $n\to\infty$ ottengo che siccome $a_n \in RR$, quinid limitata, $(a_n)^0 = 1$

[Sk_Anonymous]

Grazie a entrambi, i ragionamenti sono equivalenti.

[Mino_01]

"BoG":Scusate se mi intrometto ma si potrebbe spiegare così ? :

$

Per carità gli interventi sono sempre graditi.



Dal quesito deduco che $a_n$ è una generica successione reale che converge ad un numero positivo (pertanto definitavente positiva).

"BoG":
$ lim_(n->\infty)a_n \in RR => b_n:=\root(n)(a_n) = n^(1/n) $ e passando il tutto a limite per $ n\to\infty $ ottengo che siccome $ a_n \in RR $, quinid limitata, $ (a_n)^0 = 1 $

Ma è corretto $ b_n:=\root(n)(a_n) = n^(1/n) $ nel caso particolare in cui $a_n=n$ e
il limite si presenta in forma indeterminata ma che ancora è convergente.

Ciao Mino

[BoG3]

Ops, ho scritto male. volevo scrivere:
$lim_(n->\infty)a_n \in RR$, allora, se definisco $ b_n:=\root(n)(a_n)$ posso dire che $\root(n)(a_n)= n^(1/n)$ e passando il tutto a limite per $n\to\infty$ ottengo che siccome $a_n \in RR$, quinid limitata, $(a_n)^0 = 1$

[Mino_01]

"BoG":Ops, ho scritto male. volevo scrivere:
$ lim_(n->\infty)a_n \in RR $, allora, se definisco $ b_n:=\root(n)(a_n) $ posso dire che $ \root(n)(a_n)= n^(1/n) $ e passando il tutto a limite per $ n\to\infty $ ottengo che siccome $ a_n \in RR $, quinid limitata, $ (a_n)^0 = 1 $

Chiedo scusa perchè vale: $root(n)a_n=n^(1/n)$ quando $a_n$ è una successione reale qualsiasi definitivamente positiva?

[BoG3]

"Mino_01":
Chiedo scusa perchè vale: $ root(n)a_n=n^(1/n) $ quando $ a_n $ è una successione reale qualsiasi definitivamente positiva?

è molto semplice! sono un grande amante di errori di battitura e mi piace molto condire il tutto con parecchia distrazione!!

in realta' è: $ root(n)a_n=(a_n)^(1/n) $

PS: non ti dico i problemi che ho avuto al superare algebra lineare... tutti quei numeri ... il problema principale era trascriverli correttamente