Dimostrazione proprietà operatore coercivo
Salve a tutti ragazzi, non riesco a risolvere un esercizio 
Potreste darmi qualche dritta?
Devo dimostrare la seguente proprietà:
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e sia $A$ l'operatore lineare definito ponendo $ \equiv a(u,v)$. L'operatore $A$ è coercivo su $H$ se e solo se è coerciva la forma bilineare $a(\cdot,\cdot)$.
Ora ricordo le definizioni:
un operatore $A$ è coercivo su $H$ se esiste un elemento $\varphi \in{H}$ tale che, per ogni $u$ in $H$, risulti
\[
\frac{}{||u-\varphi||}\to +\infty \quad \text{per}\,\, ||u||\to +\infty.
\]
la forma $a(\cdot,\cdot)$ è coerciva su $H$ se
\[
\exists \alpha: a(u,u)\geq \alpha ||u||^2, \,\,\forall u\in{H}
\].
Detto ciò, ho provato un'implicazione senza problemi, non riesco (in alcun modo
) a provare quest'altra:
Se l'operatore $A$ è coercivo, allora anche la forma bilineare $a(\cdot,\cdot)$ è coerciva.
Poiché devo provare che esiste un reale $\alpha$ che verifichi la condizione espressa sopra, avevo pensato a due possibilità: procedere per assurdo negando l'esistenza di tale valore per poi pervenire ad una contraddizione oppure esibire un $\alpha$ siffatto. In genere la seconda strada (quella costruttiva) è impraticabile, perciò son partita da qui:
Supponiamo la forma non coerciva; allora so che per ogni $\alpha>0$ esiste $u_\alpha \in{K}$ tale che
\[
a(u_\alpha, u_\alpha) < \alpha ||u_\alpha||^2.
\]
Ora, volevo scegliere opportunamente gli $\alpha$ di modo da costruire una una successione così da servirmi di questa successione $u_\alpha$ e del fatto che l'operatore è coercivo per arrivare ad un assurdo. Purtroppo, non ci riesco. Poiché l'operatore è coercivo, so che
\[
\forall M>0, \exists N>0: \forall u:||u||> N\,\,è\,\, \frac{}{||u-\varphi||}>M.
\]
L'idea iniziale era di servirmi della successione $u_\alpha$ che ho a disposizione proprio a questo punto, ma non è possibile dato che non ho informazioni sulla norma degli $u_\alpha$ che siano indipendenti dall'indice $\alpha$. Come verificare la condizione $||u_\alpha||>N$ sapendo solo che
\[
a(u_\alpha, u_\alpha) < \alpha ||u_\alpha||^2 ?
\]
Forse non è la diritta via? Dovrei usare l'approccio costruttivo?
Potreste darmi qualche dritta?Devo dimostrare la seguente proprietà:
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e sia $A$ l'operatore lineare definito ponendo $
Ora ricordo le definizioni:
un operatore $A$ è coercivo su $H$ se esiste un elemento $\varphi \in{H}$ tale che, per ogni $u$ in $H$, risulti
\[
\frac{
\]
la forma $a(\cdot,\cdot)$ è coerciva su $H$ se
\[
\exists \alpha: a(u,u)\geq \alpha ||u||^2, \,\,\forall u\in{H}
\].
Detto ciò, ho provato un'implicazione senza problemi, non riesco (in alcun modo
) a provare quest'altra:Se l'operatore $A$ è coercivo, allora anche la forma bilineare $a(\cdot,\cdot)$ è coerciva.
Poiché devo provare che esiste un reale $\alpha$ che verifichi la condizione espressa sopra, avevo pensato a due possibilità: procedere per assurdo negando l'esistenza di tale valore per poi pervenire ad una contraddizione oppure esibire un $\alpha$ siffatto. In genere la seconda strada (quella costruttiva) è impraticabile, perciò son partita da qui:
Supponiamo la forma non coerciva; allora so che per ogni $\alpha>0$ esiste $u_\alpha \in{K}$ tale che
\[
a(u_\alpha, u_\alpha) < \alpha ||u_\alpha||^2.
\]
Ora, volevo scegliere opportunamente gli $\alpha$ di modo da costruire una una successione così da servirmi di questa successione $u_\alpha$ e del fatto che l'operatore è coercivo per arrivare ad un assurdo. Purtroppo, non ci riesco. Poiché l'operatore è coercivo, so che
\[
\forall M>0, \exists N>0: \forall u:||u||> N\,\,è\,\, \frac{
\]
L'idea iniziale era di servirmi della successione $u_\alpha$ che ho a disposizione proprio a questo punto, ma non è possibile dato che non ho informazioni sulla norma degli $u_\alpha$ che siano indipendenti dall'indice $\alpha$. Come verificare la condizione $||u_\alpha||>N$ sapendo solo che
\[
a(u_\alpha, u_\alpha) < \alpha ||u_\alpha||^2 ?
\]
Forse non è la diritta via? Dovrei usare l'approccio costruttivo?
Risposte
un aiutino, please
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