Dimostrazione proprietà funzioni convesse

[KatieP]

Salve ragazzi, ho questa proprietà da dimostrare.
Sia f una funzione definita in un intervallo [a,b] a valori in R. Sia f convessa, derivabile. Sia x un punto interno all'intervallo tale che la derivata prima in x sia nulla. Provare che x è un punto di minimo assoluto per f. Il punto x è necessariamente unico?
Allora, per il primo quesito sono partita dalla definizione di convessità e, ponendo la derivata prima uguale a 0, ho beccato la definizione di minimo assoluto. Il problema sorge con il secondo quesito. Il fatto che io abbia provato che sia minimo assoluto, non implica anche che sia unico? C'è qualcosa che forse non ho capito del testo del l'esercizio?

[billyballo2123]

Il fatto che sia minimo assoluto significa che la funzione non assumerà mai un valore minore sull'intervallo $[a,b]$. Ma non è detto che sia l'unico punto in cui si assuma il valore minimo. Pensa ad una funzione costante $f(x)=k$. E' costante, convessa, la derivata prima è nulla in tutti i punti e tutti i punti sono punti di minimo assoluto.

[dovah01]

Ciao nereide,
come hai scritto, non è detto che il punto sia di minimo assoluto. Considera infatti, come esempio, la funzione \( f(x)=\sin x \). Essa ha infiniti punti di minimo assoluto, precisamente ogni \( \frac{3}{2}\pi \; + 2k\pi \). Pertanto per dimostrare che il punto di minimo assoluto trovato sia unico devi utilizzare l'ipotesi di convessità e quindi concludere che SE esiste un punto di minimo, esso deve essere necessariamente assoluto (l'esempio semplice è quello di una parabola del tipo \( y=x^2 \) . Spero di esserti stato d'aiuto

il dovah

[KatieP]

Se chiamo x0 il punto di minimo trovato, per la convessità avrei che f(x) è maggiore o uguale di f(x0), per ogni x appartenente all'intervallo. Basterebbe questo a dimostrare che è unico?

[dovah01]

No! per dimostrare che è unico devi cercare un controesempio, quello proposto sopra è perfetto! Infatti nella definizione di convessità hai un minore o uguale, non un minore stretto, pertanto non è sufficiente fare ciò che chiedi, serve qualcosina in più.

[KatieP]

Grazie

[dovah01]

Figurati

[KatieP]

Non mi è ancora chiaro. Per dimostrare che é necessariamente unico considero la funzione sinx ed evidenzio che nell'intervallo [3pi/2 ; 3pi/2 + 2pi], la funzione non è globalmente convessa (contraddizione dell'ipotesi), quindi che il punto di minimo deve essere necessariamente unico. Siamo sicuri che questo esempio abbia validità generale e non solamente relativa a sinx? Un controesempio non sarebbe stato sufficiente invece a negare (e non a dimostrare) che il minimo sia unico?

[KatieP]

Io avevo pensato invece a questo tipo di dimostrazione: potrebbe esserci un punto x1 appartenete all'intervallo tale che f(x1) = f(x0) (dove x0 è il punto di minimo assoluto che ho trovato) e tale che la derivata prima in f(x1) sa uguale a 0. Riscrivendo l'ipotesi di convessità, avrei che f(x) sarebbe > o uguale di f(x1) per ogni x appartenente all'intervallo, che è vero perché f(x1) = f(x0). Quindi il punto di minimo non è necessariamente unico. C'è qualcosa di sbagliato?

[billyballo2123]

Scusa ma il punto di minimo non è necessariamente unico. Questo dovrebbe essere stato chiaro fin dal primo messaggio con cui ti ho risposto...

[KatieP]

Scusami, mi riferivo a dovah