Dimostrazione proprietà esponenziali complessi.
Salve a tutti,
un docente di analisi ci ha spinto, per esercizio, a dimostrare alcune proprietà degli esponenziali complessi; in particolare:
$e^(a+b)=e^a*e^b$ essendo [tex]a, b \in[/tex]$CC$.
Ora, non ricordo come abbiamo definito l'esponenziale reale, ere fa, ad ogni modo possiamo prendere per verificate le sue proprietà (quindi se avessimo [tex]a, b \in[/tex]$RR$ il problema sarebbe risolto).
Per quanto concerne l'esponenziale complesso, l'abbiamo definito come serie di potenze:
$e^z=1+z+frac{z^2}{2!}+frac{z^3}{3!}+...$
Arrivo al dunque. L'idea è considerare due serie di potenze:
$s_1=e^(a+b)=1+(a+b)+frac{(a+b)^2}{2!}+...$ e
$s_2=(e^a)*(e^b)=(1+a+frac{a^2}{2!}+...)*(1+b+frac{b^2}{2!}+...)$
In modo da poter sfruttare il teorema d'unicità, secondo il quale se due serie di potenze coincidono anche solo su una curva, coincidono ovunque.
Fin qui tutto dovrebbe filar liscio. Prendo come curva la retta reale e separo parte reale ed immaginaria degli esponenti, essendo
$a=\alpha+i\gamma$ e $b=\beta+i\delta$ con $\alpha, \beta, \gamma, \delta in RR$
$AA a, b in CC nn RR$ abbiamo $\gamma=\delta=0$
Posso quindi riscrivere come segue le due serie:
$s_1=e^(\alpha+\beta)=1+(\alpha+\beta)+frac{(\alpha+\beta)^2}{2!}+...$ e
$s_2=(e^\alpha)*(e^\beta)=(1+\alpha+frac{\alpha^2}{2!}+...)*(1+\beta+frac{\beta^2}{2!}+...)$
Fin qui sono abbastanza convinto di non aver barato.
Adesso posso sostenere che, essendo i due esponenziali reali, le due serie coincidono nel campo dei reali?
Se così fosse dovrei aver verificato le ipotesi del teorema di unicità, pertanto la coincidenza delle due serie $s_1$ ed $s_2$ e dunque delle espressioni $e^(a+b)$ e $e^a*e^b$.
Il professore sostiene che ci sia un baco nel discorso, e tutto sommato gli credo, anche se non lo vedo.
Quindi, l'errore esiste? E' unico o ce ne sono tanti? XD
un docente di analisi ci ha spinto, per esercizio, a dimostrare alcune proprietà degli esponenziali complessi; in particolare:
$e^(a+b)=e^a*e^b$ essendo [tex]a, b \in[/tex]$CC$.
Ora, non ricordo come abbiamo definito l'esponenziale reale, ere fa, ad ogni modo possiamo prendere per verificate le sue proprietà (quindi se avessimo [tex]a, b \in[/tex]$RR$ il problema sarebbe risolto).
Per quanto concerne l'esponenziale complesso, l'abbiamo definito come serie di potenze:
$e^z=1+z+frac{z^2}{2!}+frac{z^3}{3!}+...$
Arrivo al dunque. L'idea è considerare due serie di potenze:
$s_1=e^(a+b)=1+(a+b)+frac{(a+b)^2}{2!}+...$ e
$s_2=(e^a)*(e^b)=(1+a+frac{a^2}{2!}+...)*(1+b+frac{b^2}{2!}+...)$
In modo da poter sfruttare il teorema d'unicità, secondo il quale se due serie di potenze coincidono anche solo su una curva, coincidono ovunque.
Fin qui tutto dovrebbe filar liscio. Prendo come curva la retta reale e separo parte reale ed immaginaria degli esponenti, essendo
$a=\alpha+i\gamma$ e $b=\beta+i\delta$ con $\alpha, \beta, \gamma, \delta in RR$
$AA a, b in CC nn RR$ abbiamo $\gamma=\delta=0$
Posso quindi riscrivere come segue le due serie:
$s_1=e^(\alpha+\beta)=1+(\alpha+\beta)+frac{(\alpha+\beta)^2}{2!}+...$ e
$s_2=(e^\alpha)*(e^\beta)=(1+\alpha+frac{\alpha^2}{2!}+...)*(1+\beta+frac{\beta^2}{2!}+...)$
Fin qui sono abbastanza convinto di non aver barato.
Adesso posso sostenere che, essendo i due esponenziali reali, le due serie coincidono nel campo dei reali?
Se così fosse dovrei aver verificato le ipotesi del teorema di unicità, pertanto la coincidenza delle due serie $s_1$ ed $s_2$ e dunque delle espressioni $e^(a+b)$ e $e^a*e^b$.
Il professore sostiene che ci sia un baco nel discorso, e tutto sommato gli credo, anche se non lo vedo.
Quindi, l'errore esiste? E' unico o ce ne sono tanti? XD
Risposte
bah.. secondo me e' giusto.. (a parte il fatto che al posto di $\gamma$ e $\delta$ (che sono nullI) hai $\alpha$ e $\beta$)
Ciao,e benvenuto in questo forum:
siamo entrambi nuovi,
ma direi che sceglierlo è un'ottima idea se si vogliono confrontare approcci e conoscenze in modo da far crescere il livello d'entrambe!
Andiamo a questioni tecniche:
la formula di Eulero puoi usarla?
Nel caso è una sequenza abbastanza semplice di passaggi algebrici,
che tirano ina ballo le formule d'addizione di seno e coseno e la definizione di prodotto tra numeri complessi:
saluti dal web.
siamo entrambi nuovi,
ma direi che sceglierlo è un'ottima idea se si vogliono confrontare approcci e conoscenze in modo da far crescere il livello d'entrambe!
Andiamo a questioni tecniche:
la formula di Eulero puoi usarla?
Nel caso è una sequenza abbastanza semplice di passaggi algebrici,
che tirano ina ballo le formule d'addizione di seno e coseno e la definizione di prodotto tra numeri complessi:
saluti dal web.
"Valerio Capraro":
(a parte il fatto che al posto di $\gamma$ e $\delta$ (che sono nullI) hai $\alpha$ e $\beta$)
Grazie, correggo subito!
@theras:
Grazie mille del benvenuto ^^
No, non possiamo usare Eulero. Altri miei compagni si sono messi a trafficare con binomi di Newton o altro, però mi sembrava più comodo e più bello aggirare i calcoli, se possibile.
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