Dimostrazione proposizione
Salve sto studiando Metodi matematici per l'ingegneria e mi trovo in difficoltà con la seguente proposizione.
"Sia H uno spazio pre-hilbertiano. Si ha
a) \(\displaystyle x_{n} \to x \) e \(\displaystyle y_{n} \to y \) implicano \(\displaystyle \left \langle x_{n},y_{n} \right \rangle \to \left \langle x,y \right \rangle \)
b)\(\displaystyle x_{n} \to x \) implica \(\displaystyle \left \| x_{n} \right \| \to \left \| x \right \| \)
Sto studiando dal libro "Metodi matematici per l'ingegneria" di Frasca e Di Fazio, e la dimostrazione non mi è chiara, potreste aiutarmi per favore?
"Sia H uno spazio pre-hilbertiano. Si ha
a) \(\displaystyle x_{n} \to x \) e \(\displaystyle y_{n} \to y \) implicano \(\displaystyle \left \langle x_{n},y_{n} \right \rangle \to \left \langle x,y \right \rangle \)
b)\(\displaystyle x_{n} \to x \) implica \(\displaystyle \left \| x_{n} \right \| \to \left \| x \right \| \)
Sto studiando dal libro "Metodi matematici per l'ingegneria" di Frasca e Di Fazio, e la dimostrazione non mi è chiara, potreste aiutarmi per favore?
Risposte
Se \(X,Y\) sono spazi topologici e \(x_{n}\rightarrow x\) ed \(f:X\rightarrow Y\) è continua allora puoi scambiare l'ordine di applicazione fra funzione e limite nel senso che \(f(x_{n})\rightarrow f(x)\). Non credo che cambi qualcosa con una funzione di due variabili. Il libro (forse) mostrerà che l'applicazione prodotto scalare è continua in entrambe le variabili usando la tecnica \(\epsilon-\delta\) e quindi lo è anche la norma derivante. Potresti postare la parte della dimostrazione che non ti è chiara.
Certamente, la dimostrazione inizia in questo modo
\(\displaystyle \left \langle x_{n},y_{n} \right \rangle-\left \langle x,y \right \rangle\leq \left \langle x_{n}-x,y_{n}-y \right \rangle+\left \langle x,y_{n}-y \right \rangle+\left \langle x_{n}-x,y \right \rangle \)
questa relazione da dove deriva?
\(\displaystyle \left \langle x_{n},y_{n} \right \rangle-\left \langle x,y \right \rangle\leq \left \langle x_{n}-x,y_{n}-y \right \rangle+\left \langle x,y_{n}-y \right \rangle+\left \langle x_{n}-x,y \right \rangle \)
questa relazione da dove deriva?
Dalla bilinearità del prodotto scalare?
"tino20":
questa relazione da dove deriva?
Quoto quanto dice Rigel. Se sviluppi i calcoli al secondo membro della disuguaglianza trovi che esso è uguale al primo, quindi nella disuguaglianza vale il segno =
Credo che sia un artificio della dimostrazione che serve per maggiorare il primo membro
[OT]
Ma i prof da te citati insegnano ancora ad Ingegneria?
Se è così sei in una miniera d'oro:
qualche volta venivo apposta da Matematica a seguirli
(in particolar modo il buon M. perché,a mio modo di vedere,
spiegava l'Analisi complessa come pochi..),
e quel libro vorrei proprio leggerlo!
[\OT].
Saluti dal web.
Ma i prof da te citati insegnano ancora ad Ingegneria?
Se è così sei in una miniera d'oro:
qualche volta venivo apposta da Matematica a seguirli
(in particolar modo il buon M. perché,a mio modo di vedere,
spiegava l'Analisi complessa come pochi..),
e quel libro vorrei proprio leggerlo!
[\OT].
Saluti dal web.
la proprietà della bilinearità di ce che
\(\displaystyle \lt{a}{v}+{b}{w},{c}{z}+{\left.{d}{t}\right.}\gt ={a}{c}\lt{v},{z}\gt+{a}{d}\lt{v},{t}\gt+{b}{c}\lt{w},{z}\gt+{b}{d}\lt{w},{t}\gt \)
non capisco come applicarla alla differenza \(\displaystyle \displaystyle \left \langle x_{n},y_{n} \right \rangle-\left \langle x,y \right \rangle \).
theras si insegnano ancora in ingegneria.
\(\displaystyle \lt{a}{v}+{b}{w},{c}{z}+{\left.{d}{t}\right.}\gt ={a}{c}\lt{v},{z}\gt+{a}{d}\lt{v},{t}\gt+{b}{c}\lt{w},{z}\gt+{b}{d}\lt{w},{t}\gt \)
non capisco come applicarla alla differenza \(\displaystyle \displaystyle \left \langle x_{n},y_{n} \right \rangle-\left \langle x,y \right \rangle \).
theras si insegnano ancora in ingegneria.
Puoi subito verificare la disuguaglianza esplicitando tutti i termini. A quel punto il procedimento per ricavarla è quello che ti ha portato alla verifica procedendo però a ritroso.
"tino20":
non capisco come applicarla alla differenza ⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩.
la devi applicare al secondo membro, non al primo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo