Dimostrazione principio di induzione

[Husky64]

Sia $ x ∈ R $ un numero reale tale che $ 0 < x < 1 $. Usando il principio di
induzione, mostrare che per ogni $ n ∈ N $ ,$ n ≥ 1 $, vale: $ (1-x)^n<1/(1+nx) $. Salve, vorrei sapere se è corretto dimostrare la disuguaglianza in questo modo:

1) dimostro che per $ n=1 $ , $ 1-x<1/(1+x) $ , da cui ottengo $ 1-x^2<1 $ che è sempre vera.

2) dimostro che la disuguaglianza vale per $ n+1 $, $ (1-x)^(n+1)<1/(1+(n+1)x) $, da cui $ (1-x)^(n)(1-x)<1/(1+nx)(1-x)<1/(1+nx+x) $.
Posso concludere così la dimostrazione o c'è qualcosa che non va?

[otta96]

"Husky64":$1/(1+nx)(1-x)<1/(1+nx+x)$.
Posso concludere così la dimostrazione o c'è qualcosa che non va?

Questo passaggio non l'hai argomentato.

[Husky64]

Ho sfruttato l'ipotesi, che mi diceva che quella quantità è maggiore di $ (1-x)^n(1-x) $, ma è minore della quantità $ 1/(1+nx+x) $.

[otta96]

No, la tua ipotesi è che $(1-x)^n<1/(1+nx)$, la tua tesi è che $(1-x)^(n+1)<1/(1+nx+x)$.

[Husky64]

Si, nel senso che la quantità secondo l'ipotesi rimane invariata.

[pilloeffe]

Ciao Husky64,

"Husky64":Posso concludere così la dimostrazione o c'è qualcosa che non va?

Secondo me c'è qualcosa che non va nella conclusione...
Imiterei la dimostrazione della disuguaglianza di Bernoulli, quindi si deve provare che si ha:

$(1−x)^{-n} > 1+nx $

Hai già visto che l'affermazione è vera per $n=1$, perché $1−x^2 < $1. A questo punto l'ipotesi è che la disuguaglianza valga per $n$:

$(1−x)^{-n} > 1+nx $

Dobbiamo dimostrare che vale per $n + 1 $:

$(1−x)^{−n−1} = (1−x)^{-n} (1−x)^{- 1} > (1+nx)/(1−x) $

per l'ipotesi induttiva. Quindi per concludere si deve dimostrare che si ha:

$(1+nx)/(1−x) \ge 1+(n+1)x $

cioè

$1+nx \ge (1 - x)(1 + (n + 1)x) = 1+(n+1)x−x−(n+1)x^2 = $
$ = 1 + nx + x - x - (n + 1)x^2 = 1 + nx - (n + 1)x^2 $

che è certamente vera in quanto è sicuro che $(n + 1)x^2 > 0 $