Dimostrazione per induzione di una formula
In un esercizio sul metodo di induzione ho trovato difficoltà nel dimostrare questa
$1+5+9+13+....+(4n+1) = (2n+1)(n+1)$
Primo caso 'porre $n=1$
verrebbe 5 = 6 che non è possibile.
Non riesco a capire perchè venga cosi.
Forse dovrebbe essere $1+ (4n+1) = (2n+1)(n+1)$?
Illuminatemi.
$1+5+9+13+....+(4n+1) = (2n+1)(n+1)$
Primo caso 'porre $n=1$
verrebbe 5 = 6 che non è possibile.
Non riesco a capire perchè venga cosi.
Forse dovrebbe essere $1+ (4n+1) = (2n+1)(n+1)$?
Illuminatemi.
Risposte
Per n=1 viene $1=6$ in quanto quando dici $n=1$ significa che al primo membro dell'uguaglianza prendi solo il primo termine.
In tutti i modi non è questo il problema, perchè comunque non viene....tu sei sicuro che la formula è proprio quella?!
Perchè ad esempio nella formula di Gauss viene, e si dimostra proprio con induzione.
In tutti i modi non è questo il problema, perchè comunque non viene....tu sei sicuro che la formula è proprio quella?!
Perchè ad esempio nella formula di Gauss viene, e si dimostra proprio con induzione.
$1+2+3+....+n=(n(n+1))/2$
Si è questa la formula.
L'ho copiata dal libro
L'ho copiata dal libro
Il passo base si ha per $n=0$
Magariscrivendo l'espressione in modo diverso risulta più evidente:
$1+5+9+13+...+4n+1= \sum_{k=0}^n (4k+1)$
Per $n=0$ hai LHS=1= RHS
Per $n=1$ hai $ \sum_{k=0}^n (4k+1)= 1+5=6= (2+1)(1+1)$
Magariscrivendo l'espressione in modo diverso risulta più evidente:
$1+5+9+13+...+4n+1= \sum_{k=0}^n (4k+1)$
Per $n=0$ hai LHS=1= RHS
Per $n=1$ hai $ \sum_{k=0}^n (4k+1)= 1+5=6= (2+1)(1+1)$
Normalmente si precisa, prima della dimostrazione per induzione, se la formula che si vuole dimostrare vale $AA n in NN$ oppure se si restringe magari a $NN - {0}$ o ${n in NN : n >= c; c = costante}$.
Nel tuo caso la formula vale $AA n in NN$, dunque la base è $n = 0$, per la quale si ha l'identità riportata da mathematico, poi si suppone valida per $n$ e si prova per $n+1$ (e viene, l'ho verificata prima di postare..
)
Nel tuo caso la formula vale $AA n in NN$, dunque la base è $n = 0$, per la quale si ha l'identità riportata da mathematico, poi si suppone valida per $n$ e si prova per $n+1$ (e viene, l'ho verificata prima di postare..
)
"EnderWiggins":
Normalmente si precisa, prima della dimostrazione per induzione, se la formula che si vuole dimostrare vale $AA n in NN$ oppure se si restringe magari a $NN \setminus \{0\}$ o $\{n in NN :\ n >= c; c = costante\}$.
Nel tuo caso la formula vale $AA n in NN$, dunque la base è $n = 0$, per la quale si ha l'identità riportata da mathematico, poi si suppone valida per $n$ e si prova per $n+1$ (e viene, l'ho verificata prima di postare..
Il problema è che molti autori considerano $0\notin NN$; quindi potrebbe benissimo essere che la base dell'induzione sia fatta su $n=1$.
Ad ogni modo, non è tanto importante da dove si parte... L'importante è mostrare il passo induttivo.
giusto
anche a me viene la dimostrazione per induzione però non capisco perchè non deve venire per $n=1$. Io faccio questo ragionamento: la formula dà la somma degli interi dispari a $1$ a $4n+1$ con passo 4, dunque per $n=1$ ho $1+4+1 = 1+5 =6$ e coincide con la formula: $(2*1+1)(1+1)= 3*2=6$
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