Dimostrazione per induzione, derivata n-esima ln(1+x)
Ciao a tutti!
Dovrei dimostrare per induzione che la derivata n-esima di ln(1+x) è $f^(n)(x)=\frac{(-1)^(n+1)(n-1)!}{(1+x)^(n)}$.
Allora ho dimostrato che questo vale per n=1 infatti
$\lim_{h \to \0}frac{ln(1+x+h)-ln(1+x)}{h}=1/(1+x)$ e $f'(x)=\frac{(-1)^(1+1)(1-1)!}{(1+x)^(1)}=1/(1+x)$
Dopodichè ho dimostrato che vale anche per n-1, facendo il limite del rapporto incrementale di $f^(n-2)$:
$\lim_{h \to \0}frac{(((-1)^(n-1)(n-3)!)/(1+x+h)^(n-2))-(((-1)^(n-1)(n-3)!)/(1+x)^(n-2))}{h}=\frac{(-1)^(n)(n-2)!}{(1+x)^(n-1)}$
(non riporto tutti i calcoli, ma con vari passaggi si dimostra)
Con lo stesso procedimento dimostro anche che vale per n:
$\lim_{h \to \0}frac{(((-1)^(n)(n-2)!)/(1+x+h)^(n-1))-(((-1)^(n)(n-2)!)/(1+x)^(n-1))}{h}=\frac{(-1)^(n+1)(n-1)!}{(1+x)^(n)}$
Quello che volevo chiedere è se basta dimostrare che è verificata per 1, n-1 e n o sono necessarie altre considerazioni.
Grazie!
Dovrei dimostrare per induzione che la derivata n-esima di ln(1+x) è $f^(n)(x)=\frac{(-1)^(n+1)(n-1)!}{(1+x)^(n)}$.
Allora ho dimostrato che questo vale per n=1 infatti
$\lim_{h \to \0}frac{ln(1+x+h)-ln(1+x)}{h}=1/(1+x)$ e $f'(x)=\frac{(-1)^(1+1)(1-1)!}{(1+x)^(1)}=1/(1+x)$
Dopodichè ho dimostrato che vale anche per n-1, facendo il limite del rapporto incrementale di $f^(n-2)$:
$\lim_{h \to \0}frac{(((-1)^(n-1)(n-3)!)/(1+x+h)^(n-2))-(((-1)^(n-1)(n-3)!)/(1+x)^(n-2))}{h}=\frac{(-1)^(n)(n-2)!}{(1+x)^(n-1)}$
(non riporto tutti i calcoli, ma con vari passaggi si dimostra)
Con lo stesso procedimento dimostro anche che vale per n:
$\lim_{h \to \0}frac{(((-1)^(n)(n-2)!)/(1+x+h)^(n-1))-(((-1)^(n)(n-2)!)/(1+x)^(n-1))}{h}=\frac{(-1)^(n+1)(n-1)!}{(1+x)^(n)}$
Quello che volevo chiedere è se basta dimostrare che è verificata per 1, n-1 e n o sono necessarie altre considerazioni.
Grazie!
Risposte
bè...dovresti dimostrare che \(\displaystyle P(n)\Rightarrow P(n+1) \)
"Ariz93":
bè...dovresti dimostrare che P(n)⇒P(n+1)
Immaginavo non si limitasse solo a quello che ho fatto io.. io ci ho provato e riprovato, ma non riesco a trovare durante la risoluzione del limite del rapporto incrementale come P(n) possa dipendere da P(n-1)..
ora non ho tempo mi spiace...c'è da pensarci un pò su 
prova da n a n+1
cioè che vale :
$f^{n+1} = \frac{(-1)^{n+2} n!}{(1+x)^{n+1}}$
prova col limite incrementale,al momento non mi vengono altri modi,però fallo per un generico n e poi mettici n+1 .
prova da n a n+1 cioè che vale :
$f^{n+1} = \frac{(-1)^{n+2} n!}{(1+x)^{n+1}}$
prova col limite incrementale,al momento non mi vengono altri modi,però fallo per un generico n e poi mettici n+1 .
L'unico problema in quello che ha scritto Lety è che non c'è legame tra $P(1)$ e passo induttivo, infatti se sai che $P(1)$ è vera, $P(n-2) \Rightarrow P(n-1)$ non ti garantisce che $P(2)$ sia vera, poiché quest'ultima implicazione ha senso solo per $n >= 3$ (indipercui dovresti verificare a mano $P(2)$ e $P(3)$ come hai fatto con $P(1)$).
In sostanza, provato $P(1)$, ti basta dimostrare $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ per far scattare l'induzione, cioè devi assumere che la formula valga per $f^(n)$ e dimostrare che vale anche per $f^(n+1)$.
In sostanza, provato $P(1)$, ti basta dimostrare $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ per far scattare l'induzione, cioè devi assumere che la formula valga per $f^(n)$ e dimostrare che vale anche per $f^(n+1)$.
"Ariz93":Proverò grazie!
prova da n a n+1
cioè che vale :
fn+1=(−1)n+2n!(1+x)n+1
"Seneca":
In sostanza, provato P(1), ti basta dimostrare P(n)⇒P(n+1) per far scattare l'induzione, cioè devi assumere che la formula valga per fn e dimostrare che vale anche per fn+1.
Il procedimento che ho fatto è corretto però? Devo solo trovare la relazione tra $f^n$ e $f^(n+1)$? Grazie
L'idea sì, i conti non li ho controllati.
Vorrei farti notare, però, che è una fatica superflua quella di derivare la funzione usando il limite del rapporto incrementale. Caspita, hai tutte le regole di derivazione che ti servono a disposizione!
Vorrei farti notare, però, che è una fatica superflua quella di derivare la funzione usando il limite del rapporto incrementale. Caspita, hai tutte le regole di derivazione che ti servono a disposizione!
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