Dimostrazione per induzione.
Ciao ragazzi, non mi torna una cosa sulla dimostrazione per induzione. La definizione penso sia chiara a tutti e anche a me lo è e anche lo svolgimento della prima parte delle dimostrazioni, ma dopo non procedono mai come penso di fare io, per esempio:
Dimostrare che $3^n(n!)>=n^n AAn in NN^+
Allora per prima cosa proviamo che sia vera per n=1 e lo è infatti viene 3>1. Adesso supponiamo sia vera per n e dimostramo che vale per n+1. A questo punto io ho proceduto sostituendo a tutti gli n gli n+1 e facendo qualche calcolo cercando di provare la tesi, invece loro hanno scritto in questo modo $3^n(n!)((n+1)/n)^(n+1)>=n^n((n+1)/n)^(n+1)$, ma perchè fanno in questo modo?
continuando a leggere capisco che fanno così perchè poi si riconducono alla forma $ (1+1/n)^n<=3$ cioè il valore del numero e, ma il metodo che stavo usando io è sbaglaito? Cioè in generale come faccio per questo tipo di dimostrazioni?
Dimostrare che $3^n(n!)>=n^n AAn in NN^+
Allora per prima cosa proviamo che sia vera per n=1 e lo è infatti viene 3>1. Adesso supponiamo sia vera per n e dimostramo che vale per n+1. A questo punto io ho proceduto sostituendo a tutti gli n gli n+1 e facendo qualche calcolo cercando di provare la tesi, invece loro hanno scritto in questo modo $3^n(n!)((n+1)/n)^(n+1)>=n^n((n+1)/n)^(n+1)$, ma perchè fanno in questo modo?
continuando a leggere capisco che fanno così perchè poi si riconducono alla forma $ (1+1/n)^n<=3$ cioè il valore del numero e, ma il metodo che stavo usando io è sbaglaito? Cioè in generale come faccio per questo tipo di dimostrazioni?
Risposte
Ciao!! Ho dovuto affrontare anche io questo esercizio e nelle soluzioni proposte c'era la stessa cosa che hai scritto tu. Mi è stato spiegato da esterni che nella risoluzione dell'esercizio è stata usata la formula di Stirling per semplificare il fattoriale e così facendo si sono ricondotti al limite notevole. Non so dirti però come ci sono arrivati, anche perchè io ho lo stesso problema irrisolto... Potrebbe esserci un altro modo per risolverlo? Mi unisco quindi al tuo appello....
Non c'è bisogno di scomodare Stirling.
Basta osservare che $(\frac{n+1}{n})^n = (1+\frac{1}{n})^n < e$ (cosa che dovresti aver visto: la successione a primo membro è monotona crescente e converge a $e$).
Adesso procedi per induzione: per $n=1$ la disuguaglianza è banalmente verificata.
Assumiamo adesso che sia verificata per $n\in NN^+$ e facciamo vedere che vale anche per $n+1$:
$3^{n+1}[(n+1)!] = 3(n+1) 3^n (n!) \ge 3(n+1) n^n = 3 (\frac{n}{n+1})^n (n+1)^{n+1}$.
Dalla disuguaglianza vista all'inizio abbiamo che
$(\frac{n}{n+1})^n > \frac{1}{e}$; sostituendo si ottiene
$3^{n+1}[(n+1)!] > \frac{3}{e} (n+1)^{n+1} > (n+1)^{n+1}$
(dal momento che $3/e > 1$).
Basta osservare che $(\frac{n+1}{n})^n = (1+\frac{1}{n})^n < e$ (cosa che dovresti aver visto: la successione a primo membro è monotona crescente e converge a $e$).
Adesso procedi per induzione: per $n=1$ la disuguaglianza è banalmente verificata.
Assumiamo adesso che sia verificata per $n\in NN^+$ e facciamo vedere che vale anche per $n+1$:
$3^{n+1}[(n+1)!] = 3(n+1) 3^n (n!) \ge 3(n+1) n^n = 3 (\frac{n}{n+1})^n (n+1)^{n+1}$.
Dalla disuguaglianza vista all'inizio abbiamo che
$(\frac{n}{n+1})^n > \frac{1}{e}$; sostituendo si ottiene
$3^{n+1}[(n+1)!] > \frac{3}{e} (n+1)^{n+1} > (n+1)^{n+1}$
(dal momento che $3/e > 1$).
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