Dimostrazione per induzione

[Marix2]

devo dimostrare per induzione che $3^n < n!$

scrivo la soluzione:

per $n=7$ vale $3^7 < 7!$ quindi $2187 < 5040$
ipotesi induttiva: $3^n < n!$
tesi: $3^n < n!$ implica $3^n+1 < n+1!$
$3^n+1 = 3^n * 3$
Per l'ipotesi induttiva quindi vale:
$3^n * 3 < n! * 3$
Poichè per ogni $n >= 7$ vale $3 < n+1$ otteniamo la maggiorazione cercata:
$3^n+1 < n! * 3 < n! * (n+1) = (n+1)!$

Non capisco dalla tesi quando si dice che $3^n+1 = 3^n * 3$
Qualcuno mi puo spiegari i passaggi da questo punto?
Grazie

[adaBTTLS1]

non è $3^n+1$ ma $3^(n+1)=3^n*3^1$
è chiaro? ciao.

[Marix2]

veramente no -.-
io non ho capito proprio DA quel passaggio purtroppo.

[adaBTTLS1]

passando da n a (n+1), n+1 va sostituito a n. se n era all'esponente, anche n+1 sarà all'esponente.
le proprietà delle potenze non ti ricordano nulla?
prima di andare avanti va chiarito questo punto.
$a^m*a^n=a^(m+n)$, OK?
ora, l'uguaglianza precedente, se la leggi da destra a sinistra, che cosa ti dice?

[Marix2]

Capito.
Però il seguito ancora non mi è chiaro.

[adaBTTLS1]

$n>=7>3$ o $n+1>7>3$

se è vero che $3^n allora $3^(n+1)=3^n*3<3^n*(n+1) la prima disuguaglianza deriva da $3 è più chiaro?