Dimostrazione per induzione
Salve a tutti!
Devo dimostrare la seguente disuguaglianza per induzione:
$\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\leq n\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right),$
dove $a_1, a_2, ..., a_n\in\mathbb{R}$.
Nel passo induttivo, sono giunto a questo punto:
$\left(\sum_{i=1}^{n+1}a_i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^na_i+a_{n+1}\right)^2=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}\leq n\sum_{i=1}^na_i^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}=n\sum_{i=1}^na_i^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}+na_{n+1}^2-na_{n+1}^2= n\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}+\left(1-n\right)a_{n+1}^2\leq n\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}$
Dopodiché non saprei come minorare il termine $2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}$ che compare nell'ultimo passaggio.
C'è qualcuno che cortesemente mi potrebbe dare un suggerimento o indicare eventualmente altre strade da percorrere.
Vi ringrazio anticipatamente!
Devo dimostrare la seguente disuguaglianza per induzione:
$\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\leq n\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right),$
dove $a_1, a_2, ..., a_n\in\mathbb{R}$.
Nel passo induttivo, sono giunto a questo punto:
$\left(\sum_{i=1}^{n+1}a_i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^na_i+a_{n+1}\right)^2=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}\leq n\sum_{i=1}^na_i^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}=n\sum_{i=1}^na_i^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}+na_{n+1}^2-na_{n+1}^2= n\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}+\left(1-n\right)a_{n+1}^2\leq n\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}$
Dopodiché non saprei come minorare il termine $2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}$ che compare nell'ultimo passaggio.
C'è qualcuno che cortesemente mi potrebbe dare un suggerimento o indicare eventualmente altre strade da percorrere.
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Controlla bene perché non sono sicuro di non aver fatto casino tra indici e sommatorie
$ n\sum_{i=1}^na_i^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}=
(n+1)\sum_{i=1}^na_i^2+(n+1)a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}-sum_{i=1}^na_i^2 - na_{n+1}^2=
(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}-sum_{i=1}^na_i^2 - na_{n+1}^2
\leq(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}-1/n (sum_{i=1}^na_i)^2 - na_{n+1}^2=
(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2-n*(1/n (sum_{i=1}^na_i) - a_{n+1})^2\leq(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2$
$ n\sum_{i=1}^na_i^2+a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}=
(n+1)\sum_{i=1}^na_i^2+(n+1)a_{n+1}^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}-sum_{i=1}^na_i^2 - na_{n+1}^2=
(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}-sum_{i=1}^na_i^2 - na_{n+1}^2
\leq(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2+2\sum_{i=1}^na_i\cdot a_{n+1}-1/n (sum_{i=1}^na_i)^2 - na_{n+1}^2=
(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2-n*(1/n (sum_{i=1}^na_i) - a_{n+1})^2\leq(n+1)\sum_{i=1}^(n+1)a_i^2$
Ciao jakojako,
Si tratta di un caso particolare della disuguaglianza di Chebyshev per le somme.
Supponendo, senza perdita di generalità
$ a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n $ e $ b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n $
(se così non fosse si potrebbero sempre riarrangiare le sequenze in modo che tali ipotesi siano verificate) si ha:
$ frac{sum_{k = 1}^n a_k}{n} \cdot frac{sum_{k = 1}^n b_k}{n} \le frac{sum_{k = 1}^n a_k b_k}{n} $
ovvero
$ \sum_{k = 1}^n a_k \cdot \sum_{k = 1}^n b_k \le n \sum_{k = 1}^n a_k b_k $
che nel tuo caso particolare diventa
$(\sum_{k = 1}^n a_k)^2 \le n \sum_{k = 1}^n a_k^2 $
Potresti dare un'occhiata anche qui.
Si tratta di un caso particolare della disuguaglianza di Chebyshev per le somme.
Supponendo, senza perdita di generalità
$ a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n $ e $ b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n $
(se così non fosse si potrebbero sempre riarrangiare le sequenze in modo che tali ipotesi siano verificate) si ha:
$ frac{sum_{k = 1}^n a_k}{n} \cdot frac{sum_{k = 1}^n b_k}{n} \le frac{sum_{k = 1}^n a_k b_k}{n} $
ovvero
$ \sum_{k = 1}^n a_k \cdot \sum_{k = 1}^n b_k \le n \sum_{k = 1}^n a_k b_k $
che nel tuo caso particolare diventa
$(\sum_{k = 1}^n a_k)^2 \le n \sum_{k = 1}^n a_k^2 $
Potresti dare un'occhiata anche qui.
Ciao ingres,
Riguardando con maggiore attenzione la tua dimostrazione devo purtroppo constatare che non è corretta; infatti quella corretta è la seguente:
$ (\sum_{i=1}^{n+1} a_i)^2 = (\sum_{i=1}^n a_i +a_{n+1})^2 = (\sum_{i=1}^n a_i)^2 + a_{n+1}^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i\cdot a_{n+1} \le $
$ \le n\sum_{i=1}^n a_i^2+a_{n+1}^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i \cdot a_{n+1} = $
$ = (n+1)\sum_{i=1}^n a_i^2+(n+1)a_{n+1}^2+2 a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i - \sum_{i=1}^n a_i^2 - na_{n+1}^2 = $
$ = (n+1)\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2+2 a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i -\sum_{i=1}^n a_i^2 - na_{n+1}^2 \le $
$ \le (n+1)\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2+2 a_{n+1}\sqrt{n\sum_{i=1}^n a_i^2} - \sum_{i=1}^na_i^2 - na_{n+1}^2 = $
$ \le (n+1)\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 - n [a_{n+1}^2 - 2 a_{n+1} \sqrt{1/n\sum_{i=1}^n a_i^2} + 1/n \sum_{i=1}^n a_i^2] = $
$ = (n+1) \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 - n [a_{n+1}^2 - 2 a_{n+1} \sqrt{1/n \sum_{i=1}^n a_i^2} + (\sqrt{1/n \sum_{i=1}^n a_i^2})^2] = $
$ = (n+1) \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 - n [a_{n+1} - \sqrt{1/n \sum_{i=1}^n a_i^2}]^2 \le (n+1) \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 $
Riguardando con maggiore attenzione la tua dimostrazione devo purtroppo constatare che non è corretta; infatti quella corretta è la seguente:
$ (\sum_{i=1}^{n+1} a_i)^2 = (\sum_{i=1}^n a_i +a_{n+1})^2 = (\sum_{i=1}^n a_i)^2 + a_{n+1}^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i\cdot a_{n+1} \le $
$ \le n\sum_{i=1}^n a_i^2+a_{n+1}^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i \cdot a_{n+1} = $
$ = (n+1)\sum_{i=1}^n a_i^2+(n+1)a_{n+1}^2+2 a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i - \sum_{i=1}^n a_i^2 - na_{n+1}^2 = $
$ = (n+1)\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2+2 a_{n+1}\sum_{i=1}^n a_i -\sum_{i=1}^n a_i^2 - na_{n+1}^2 \le $
$ \le (n+1)\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2+2 a_{n+1}\sqrt{n\sum_{i=1}^n a_i^2} - \sum_{i=1}^na_i^2 - na_{n+1}^2 = $
$ \le (n+1)\sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 - n [a_{n+1}^2 - 2 a_{n+1} \sqrt{1/n\sum_{i=1}^n a_i^2} + 1/n \sum_{i=1}^n a_i^2] = $
$ = (n+1) \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 - n [a_{n+1}^2 - 2 a_{n+1} \sqrt{1/n \sum_{i=1}^n a_i^2} + (\sqrt{1/n \sum_{i=1}^n a_i^2})^2] = $
$ = (n+1) \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 - n [a_{n+1} - \sqrt{1/n \sum_{i=1}^n a_i^2}]^2 \le (n+1) \sum_{i=1}^{n+1} a_i^2 $
Giusto! Troppi indici e sommatorie 
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