Dimostrazione per induzione

[pepp1995]

$2^n*n! < n^n$ con $n>=6$
i)Passo base: è banale.
ii)$2^(n+1)*(n + 1)! = 2(n + 1)2^n*n!<2(n+1)n^n$
$(n+1)^k = sum_(j =0 ) ^(k) ( (k), (j) ) n^(k-j) >= n^k+k*n^(k-1)+k(k-1)/2 *n^(k-2)$

Non riesco a capire la disuguaglianza che sta dopo il binomio di newton da dove nasce

[pilloeffe]

Ciao pepp1995,

A parte il fatto che secondo me hai scritto male il secondo termine dopo il $ge $, ha semplicemente soppresso alcuni termini della somma del binomio di Newton, perciò è evidente che l'intera somma è maggiore od uguale ad una sua parte...

[pepp1995]

Premessa: grazie per la risposta.

Cioè ha minorato il primo membro con il termine ksimo,k-1simo e k-2simo.
Tuttavia non sono d'accordo col coefficiente dinanzi ad n^(k-2) . Come lo si trova?

[pilloeffe]

"pepp1995":Premessa: grazie per la risposta.

Prego.

"pepp1995":Cioè ha minorato il primo membro con il termine ksimo,k-1simo e k-2simo.

Sì, che sono quelli che si ottengono per $j = 0 $, $j = 1 $ e $j = 2 $

"pepp1995":Tuttavia non sono d'accordo col coefficiente dinanzi ad n^(k-2) . Come lo si trova?

Beh, tenendo presente la definizione di coefficiente binomiale:

$( (k), (j) ) := \frac{k!}{j!(k - j)!} = \frac{k(k - 1) \cdot (k - 2) \cdot ... \cdot (k - j + 1)}{j!} $

Quindi si ha:

$( (k), (0) ) := \frac{k!}{0!(k - 0)!} = 1 $

$( (k), (1) ) := \frac{k!}{1!(k - 1)!} = frac{k \cdot (k - 1)!}{1!(k - 1)!} = k $

$( (k), (2) ) := \frac{k!}{2!(k - 2)!} = frac{k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2)!}{2!(k - 2)!} = frac{k \cdot (k - 1)}{2} $

e così via...