Dimostrazione per induzione

[crissstian96]

Salve ragazzi, volevo chiedere il vostro aiuto perché non ho mai utilizzato il principio di induzione (colpa dell'ITIS) e sto iniziando ad esercitarmi in vista dell'esame. Ho notato che negli esami precedenti del mio professore è molto frequente la richiesta di dimostrare $ (a+b)^n >= a^n + b^n $ dunque mi sono cimentato in questo. Ho l'impressione di aver sbagliato tutto ( tutti i libri di testo danno per scontato questo argomento, abbiate pietà) quindi invoco il vostro aiuto.
Dobbiamo dimostrare $ (a+b)^n >= a^n + b^n $ con n appartenente ai naturali e a,b appartenente ai reali positivi.
Innanzitutto verifichiamo la base d'induzione per n=1:
$(a+b)>=a+b$
Ed è verificata.
Ora proviamo a sostituire con n+1:
$(a+b)^(n+1)>=a^(n+1)+b^(n+1)=>(a+b)^n*(a+b)>=a^n*a+b^n*b$
Adesso usiamo l'Identità
$(a+b)*(a^n+b^n)=a^n*a+b^n*b+a*b^n+b*a^n$
da cui segue
$(a+b)*(a^n+b^n)-a*b^n-b*a^n=a^n*a+b^n*b$
E sostituiamo:
$(a+b)^n*(a+b)>=(a+b)*(a^n+b^n)-a*b^n-b*a^n$
Portiamo i termini negativi al primo membro:
$(a+b)^n*(a+b)+a*b^n+b*a^n>=(a+b)*(a^n+b^n)$
E dividiamo tutto per $(a+b)$
$(a+b)^n+(a*b^n)/(a+b)+(b*a^n)/(a+b)>=a^n+b^n$
E da questo abbiamo:
$(a+b)^n+$termine positivo$+$termine positivo$>=a^n+b^n$
E ciò verifica la nostra ipotesi induttiva.
Io ho cercato su internet e nell'unico post (in inglese) che trattava questa dimostrazione veniva utilizzato il teorema binomiale (che non abbiamo ancora fatto, nonostante sia elementare). Ho sbagliato qualcosa?
Grazie.

[donald_zeka]

Hmm, la tua soluzione è corretta ma io più semplicemente farei così:

Pongo senza perdere di generalità $a>=b$, da cui segue:

$a*a^n+a*b^n>=a*a^n+b*b^n$

Se riusciamo a dimostrare che $(a+b)^(n+1)>=a*a^n+a*b^n$, allora la cosa è fatta:

$(a+b)^(n+1)=(a+b)(a+b)^n>=(a+b)(a^n+b^n)>=a(a^n+b^n)>=a^(n+1)+b^(n+1)$

CVD