Dimostrazione per induzione

[dashb.best]

Salve a tutti, vorrei dimostrare per induzione un esercizio e proprio non riesco a venirne a capo.
$(n/e)^n Il passo base l'ho dimostrato per n≥1 e viene.
Per il passo induttivo l'ipotesi è $(n/e)^n Quì mi sono bloccato...

[kobeilprofeta]

Ok...
Parti da $(n/e)^n
$k=frac{n}{e}*(n+1)$

[kobeilprofeta]

Dovresti arrivare a qualcosa del tipo:
$(n/e)^(n+1)<(n+1)!*frac{n}{e*(n+1)}$... e quindi ti basterebbe far vedere che $(n+1)!*frac{n}{e*(n+1)}<(n+1)!$

[dashb.best]

"kobeilprofeta":e quindi ti basterebbe far vedere che $(n+1)!*frac{n}{e*(n+1)}<(n+1)!$

Ok ma come può essermi utile?

[dashb.best]

Poi non capisco la scelta di quel k...

[Frink1]

Se non ti piace quel $k$, puoi fare così:

scritto il passo, noti che $(n+1)! = (n!)(n+1)$, quindi la tua disuguaglianza si trasforma in $\frac{(n+1)^n}{e^{n+1}} < n!$.


Se riesci a dimostrare che $\frac{(n+1)^n}{e^{n+1}} \leq \frac{n^n}{e^n}$ hai finito, e questo è piuttosto facile.

[kobeilprofeta]

A primo membro ho $(n/e)^n$ e voglio $(n/e)^(n+1)$, dunque moltiplico per $n/e$. Ottengo $(n/e)^(n+1) ora a secondo membro ho $n!$ e voglio $(n+1)!$... moltiplico per $n+1$ e ottengo $(n/e)^(n+1)*(n+1)<(n+1)!*(n/e) => (n/e)^(n+1)<(n+1)!*frac{n}{(n+1)*e}$...
... E qua ti riconduci a ció che dicevo prima...

Chiaro ora?

[dashb.best]

Ok ora ci sono, ma un' ultima cosa.
Come posso provare che $(n+1)!*n/((n+1)e)<(n+1)!$ ?
Lo vedo a occhio e la do per buona oppure devo fare i calcoli?

[kobeilprofeta]

$n/(n+1)= frac{n+1-1}{n+1}= 1-frac{1}{n+1}<1$
$1/e<1$
ora se moltiplichi qualcosa per due quantità minori di 1 ottieni qualcosa di piú piccolo... Non credo che tu debba di,ostrare anche questo

[dashb.best]

Sisi giustissimo, il mio problema è che non riuscivo a capire se dovevo includerlo nel ragionamento, comunque ho capito che è irrilevante.
Apposto grazie mille!!!!!

[@melia]

Mi pare abbiate scelto vie complicate, partendo dall'ipotesi induttiva $(n/e)^n $((n+1)/e)^(n+1) < (n+1)!$ quindi prendo il primo membro della tesi e cerco di mettere in evidenza il primo membro dell'ipotesi
$((n+1)/e)^(n+1) =((n+1)/e)^n *(n+1)/e$ poiché $(n+1)/e=n/e+1/e

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[dan952]

Poiché $1<(\frac{n+1}{n})^{n}

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