Dimostrazione per assurdo

[xRiccardo]

Mi viene chiesto di dimostrare questo per assurdo:
Se per ogni successione $x_n$ tale che $ AAn ,x_n != c $ e $ x_n -> c $ vale definitivamente $ p(x_n) $ allora vale $ p(x) $ definitivamente per $ x->c $

Quindi questa è la negazione della tesi:
Per ogni intorno di c non vale $p(x)$

ma non so come andare avanti. il testo mi dice di costruire una successione che contraddice l'ipotesi.

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto!

intanto lo riscriviamo un po' meglio;

siano $AsubsetRR, c in A$ di accumulazione per $A$ e $f:A->RR$ una funzione.

$forall {x_n}_(n in NN)subsetA(x_n->c => f(x_n)->f(c))$ $=>$ $f$ è continua in $c$

nel dimostrare $=>$ per assurdo puoi cominciare negando la tesi ovvero

$existsepsilon>0foralldelta>0:existsx_(delta) in A(abs(x_(delta)-c)
significa che esiste almeno un intorno di $f(c)$ tale per cui comunque si prenda un intorno di $c$ esiste almeno un punto del dominio che sta vicino a $c$ e lontano da $f(c)$

l'idea è quella di sfruttare in modo opportuno l'arbitrarietà di $delta$(dell'intorno di $c$) per costruire una successione ${x_n}$ che converge a $c$, per il modo in cui scegli gli intorni, e per cui $f(x_n)$ rimane sempre distante da $f(c)$

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[Indrjo Dedej]

intanto lo riscriviamo un po' meglio;

Secondo me sta parlando di proposizioni definitivamente vere.

Allora... Supponendo che $p$ sia a valori reali (il caso generale è molto semplice), la locuzione

$p(x)$ definitivamente (vera) per $x \to c$

vuol dire che \[\exists \delta > 0 \forall x \in A \big( 0 < \lvert x-c \rvert < \delta \implies p(x) \big)\,.\] La sua negazione è \[\forall \delta>0 \exists x \in A \big( 0 < \lvert x-c \rvert < \delta \land \neg p(x)\big)\,.\] Se sai leggere bene quello che ho scritto, hai costruito la successione che ti serve.

(Suggerimento: prendi i $\delta$ del tipo $n^{-1}$, con $n$ naturale.)

[xRiccardo]

Ho fatto un abbozzo di dimostrazione, potete dirmi se è giusta

Dalla negazione che mi hai scritto deduco che esiste una x tale che non vale $ p(x) $ e $ c - 1/n < x < c + 1/n $

Dato che $ x_n->c $ e dato che $ p(x_n) $ vale definitivamente, si ha che esiste un $ n_0 $ tale che valgono tutte e due le proprietà per $ n>n_0 $ e quindi, scegliendo $ epsilon = 1/n $ si ha $ p(x_n) ^^ c-1/n < x_n < c + 1/n $ ma si ha anche che $ neg p(x) ^^ c-1/n < x < c + 1/n $ e quindi abbiamo un assurdo. Scusate se ho fatto una miriade di errori ma non ho mai fatto dimostrazioni di questo tipo.

[gugo82]

Ma sarebbe troppo chiedere cosa diamine è $p(*)$?