Dimostrazione per assurdo
Ciao,
Non mi è chiaro dov'è l'assurdo in questa dimostrazione:
Dimostrazione del carattere della successione geometrica.
Se $|a|>1$ la successione $b_n=|a|^n$ è crescente, e pertanto ha un limite in $RR$ esteso. Supponiamo che tale limite sia finito $=l$. Essendo $b_(n+1)=|a|*b_n$ si avrebbe $l=|a|l$. Essendo il limite estremo superiore della successione, $l!=0$ e $l=|a|*l$ porge $|a|=1$, assurdo. Per cui il limite è infinito.
In particolare non capisco perchè $|a|=1$ è un assurdo.
L'assurdo sta nel fatto che la relazione $l=|a|*l$ non vale come ipotizzato per $|a|>1$, ma solo per $|a|=1$?
Non mi è chiaro dov'è l'assurdo in questa dimostrazione:
Dimostrazione del carattere della successione geometrica.
Se $|a|>1$ la successione $b_n=|a|^n$ è crescente, e pertanto ha un limite in $RR$ esteso. Supponiamo che tale limite sia finito $=l$. Essendo $b_(n+1)=|a|*b_n$ si avrebbe $l=|a|l$. Essendo il limite estremo superiore della successione, $l!=0$ e $l=|a|*l$ porge $|a|=1$, assurdo. Per cui il limite è infinito.
In particolare non capisco perchè $|a|=1$ è un assurdo.
L'assurdo sta nel fatto che la relazione $l=|a|*l$ non vale come ipotizzato per $|a|>1$, ma solo per $|a|=1$?
Risposte
Sembra che all'inizio ci doveva essere $|a|>1$.
"Quinzio":
Sembra che all'inizio ci doveva essere $|a|>1$.
Non credo perché la crescenza non è stretta.
cosa intendi per successione geometrica ? Io ho sempre sentito parlare di serie geometrica.
"thecrazy":
cosa intendi per successione geometrica ? Io ho sempre sentito parlare di serie geometrica.
Intendo $(a^n)_(n in NN)$
Credo si chiami anche progressione geometrica
"AnalisiZero":
[quote="Quinzio"]Sembra che all'inizio ci doveva essere $|a|>1$.
Non credo perché la crescenza non è stretta.[/quote]
Ma no. È ovvio che Quinzio ha ragione. Se \(|a|=1\) allora, banalmente, \(|a|^n=1\) per ogni \(n\), è una successione costante, e le successioni costanti si che convergono. Se non convergessero quelle, cosa dovrebbe convergere?
"dissonance":
[quote="AnalisiZero"][quote="Quinzio"]Sembra che all'inizio ci doveva essere $|a|>1$.
Non credo perché la crescenza non è stretta.[/quote]
Ma no. È ovvio che Quinzio ha ragione. Se \(|a|=1\) allora, banalmente, \(|a|^n=1\) per ogni \(n\), è una successione costante, e le successioni costanti si che convergono. Se non convergessero quelle, cosa dovrebbe convergere?[/quote]
Dico che forse il testo per "crescente" intende "non decrescente", quindi contempla anche il caso costante, in questo caso non è sbagliato dire: "Se $|a|>=1$, la successione $b_n=|a|^n$ è crescente". Che poi se $|a|=1$ converga l'ho capito. Non mi è chiaro l'assurdo della dimostrazione, da un punto di vista logico credo.
Non ti fissare troppo su "crescente" e "non decrescente", nessuno ci fa tanta attenzione. In ogni caso, non capisco perché ti accanisci tanto. È chiaro che si tratta di un typo e che all'inizio ci doveva essere \(|a|>1\).
"dissonance":
Non ti fissare troppo su "crescente" e "non decrescente", nessuno ci fa tanta attenzione. In ogni caso, non capisco perché ti accanisci tanto. È chiaro che si tratta di un typo e che all'inizio ci doveva essere \(|a|>1\).
Quindi l'assurdo è che la relazione $l=|a|l$ è vera se e solo se $|a|=1$, e non come ipotizzato per $|a|>1$?
No l'assurdo è che devi riscrivere tutto il tuo primo post però scrivendo \(|a|>1\) all'inizio. Perché \(|a|\ge 1\) era un errore di stampa. Non so più come dirtelo.
Fatto
A posto. Adesso è corretto.
E quindi perchè $|a|=1$ alla fine della dimostrazione è un assurdo?
Perché hai supposto che $|a|>1$. Un numero non può essere contemporaneamente uguale a 1 e strettamente maggiore di 1.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo