Dimostrazione numero di Nepero
Salve,
non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione dell'esistenza del limite per la successione $ a_n=(1+1/n)^n $ . Prima bisogna mostrare che tale successione è monotona crescente, e fin qui tutto bene; il secondo passaggio suggerito sia a lezione sia sul libro di testo è mostrare che la successione $ b_n=(1+1/n)^(n+1) $ è decrescente. Ora sia negli appunti sia sul libro è scritto che il modo di mostrare la decrescenza di tale successione è simile a quello usato per mostrare la crescenza della prima successione, sfruttando cioè la disuguaglianza di Bernoulli per provare che $ a_n/a_(n-1)>= 1 $ . Per applicare un metodo simile anche alla successione $ b_n $ ho pensato di cercare di dimostrare che $ b_n/b_(n-1)<= 1 $ oppure che $ b_(n-1)/b_n>= 1 $, ma non sono riuscito ad approdare a nulla.
Superato questo passaggio non ho più problemi con la fine della dimostrazione: si tratta solo di capire come si dimostra che $ b_n $ è decrescente.
Grazie in anticipo per l'aiuto (ho visto che c'è anche un modo di dimostrare l'esistenza del limite della successione attraverso la formula di Newton, ma, se è possibile, preferirei evitare quella strada)
non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione dell'esistenza del limite per la successione $ a_n=(1+1/n)^n $ . Prima bisogna mostrare che tale successione è monotona crescente, e fin qui tutto bene; il secondo passaggio suggerito sia a lezione sia sul libro di testo è mostrare che la successione $ b_n=(1+1/n)^(n+1) $ è decrescente. Ora sia negli appunti sia sul libro è scritto che il modo di mostrare la decrescenza di tale successione è simile a quello usato per mostrare la crescenza della prima successione, sfruttando cioè la disuguaglianza di Bernoulli per provare che $ a_n/a_(n-1)>= 1 $ . Per applicare un metodo simile anche alla successione $ b_n $ ho pensato di cercare di dimostrare che $ b_n/b_(n-1)<= 1 $ oppure che $ b_(n-1)/b_n>= 1 $, ma non sono riuscito ad approdare a nulla.
Superato questo passaggio non ho più problemi con la fine della dimostrazione: si tratta solo di capire come si dimostra che $ b_n $ è decrescente.
Grazie in anticipo per l'aiuto (ho visto che c'è anche un modo di dimostrare l'esistenza del limite della successione attraverso la formula di Newton, ma, se è possibile, preferirei evitare quella strada)
Risposte
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Con un paio di passaggi algebrici hai che
\[
\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{1+\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n}\,.
\]
Il denominatore può essere stimato utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, ottenendo
\[
\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n > 1 + n \cdot \frac{1}{n^2-1} > 1+ \frac{1}{n}\,.
\]
Da qui segue
\[
\frac{b_n}{b_{n-1}} < 1\qquad \forall n\geq 2.
\]
\[
\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{1+\frac{1}{n}}{\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n}\,.
\]
Il denominatore può essere stimato utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, ottenendo
\[
\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n > 1 + n \cdot \frac{1}{n^2-1} > 1+ \frac{1}{n}\,.
\]
Da qui segue
\[
\frac{b_n}{b_{n-1}} < 1\qquad \forall n\geq 2.
\]
Chiarissimo!
Grazie mille Rigel!
Grazie mille Rigel!
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