Dimostrazione norma quadratica

[brownbetty1]

Salve a tutti. Devo dimostrare che il numero $f*f = sqrt(int_(a)^(b) f^2(x) dx )$ costituisce una norma nello spazio vettoriale $RR^n$. Utilizzando le proprietà dell'integrale di Riemann sono riuscito a dimostrare alcune proprietà richieste nella definizione di norma, ma mi manca l'ultima proprietà, quella della disuguaglianza triangolare. Come posso dimostrare quest'ultima proprietà senza far uso della disuguaglianza di Holder ?

Grazie anticipatamente

[gugo82]

Per le disuguaglianza triangolare ti conviene provare preventivamente la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e poi applicarla alla dimostrazione della disuguaglianza triangolare.
Inoltre, la norma che proponi è una norma in \(L^2(a,b)\) e non in \(\mathbb{R}^N\).

Se lavori con le funzioni continue, puoi anche tenere presente che l'integrale si può ottenere come limite di somme di Riemann e perciò provare ad ottenere la disuguaglianza per approssimazione.

[brownbetty1]

Ciao !! Ho provato a dimostrare la disuguaglianza triangolare. Specifico che le funzioni considerate sono continue e in una variabile (diciamo che non c'è niente di analisi 2 in questa dimostrazione). Scrivo qui la mia idea per la dimostrazione, spero sia corretta:
$ (sqrt(int_(a)^(b) (f(x)+g(x))^2 dx))^2 = int_(a)^(b) f^2(x) dx + int_(a)^(b) g^2(x) dx + 2int_(a)^(b) f(x)g(x) dx <= $
$ <= (int_(a)^(b) f^2(x) dx)^2 + (int_(a)^(b) g^2(x) dx)^2 + 2int_(a)^(b) f^2(x) dxint_(a)^(b) g^2(x) dx = (int_(a)^(b) f^2(x) dx + int_(a)^(b) g^2(x) dx)^2 $
da cui la tesi passando alla radice quadrata tutta la disuguaglianza. Però non ho idea di come dimostrare la maggiorazione che ho fatto ... aiuto

[brownbetty1]

Up

[Rigel1]

[xdom="Rigel"]Come dovresti ben sapere, non sono ammessi "up" prima di 24 ore. Peraltro il messaggio stava già in prima pagina.[/xdom]