DIMOSTRAZIONE (non intuitiva) del Principio di Cavalieri

[andreaparisi96]

Buonasera. Sto cercando disperatamente su Internet una qualche dimostrazione matematica (quindi non intuitiva, come quella delle monete) del principio di Cavalieri per i solidi. Purtroppo non la trovo. A quanto so, Cavalieri non ha dimostrato il principio. Voi conoscete una dimostrazione?

[donald_zeka]

Il principio di cavalieri non è altro che il metodo delle fette negli integrali tripli. Dato un solido in $RR^3$, detta $A_z$ l'area dell'intersezione del solido con piano ortogonali all'asse z, supponendo che il solido sia contenuto tra $z in [a,b]$, allora il volume del solido è $V=int_(a)^(b)A_zdz$. Come si vede quindi, se due solidi hanno la stessa altezza (ossia $h=b-a$), e se tagliati da piani paralleli hanno sezioni con la stessa area (cioè $A_z$), allora hanno lo stesso volume dato che l'integrale è lo stesso, questo equivale proprio al principio di cavalieri.

[andreaparisi96]

Grazie mille

[gugo82]

L'idea è quella di sezionare il solido con piani normali ad uno degli assi coordinati.

Considera un solido, cioè un compatto $K\subseteq \mathbb{R}^3$. Il suo volume si ottiene integrando la funzione identicamente uguale ad $1$ su tutto $K$, cioè:
\[
\operatorname{vol} (K) = \iiint_{K} 1\ \text{d}x\text{d}y\text{d}z
\]
ma, introducendo la cosiddetta funzione caratteristica:
\[
\chi_K(x,y,z) := \begin{cases} 1 &\text{, se } (x,y,z)\in K \\ 0 &\text{, se } (x,y,z)\notin K\; , \end{cases}
\]
si vede che si può scrivere:
\[
\operatorname{vol} (K) = \iiint_{\mathbb{R}^3} \chi_K(x,y,z)\ \text{d}x\text{d}y\text{d}z\; .
\]
Usando le formule di riduzione degli integrali multipli, si trova:
\[
\operatorname{vol} (K) = \int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{\left(\iint_{\mathbb{R}^2} \chi_K(x,y,z)\ \text{d}x\text{d}y\right)}_{=:u(z)} \text{d}z = \int_{-\infty}^{+\infty} u(z)\ \text{d}z\; .
\]
Consideriamo la funzione $u$ e cerchiamo di spiegare cosa rappresenti.
Dato che:
\[
u(z) := \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_K (x,y,z)\ \text{d}x\text{d}y
\]
per fissato $z=\zeta \in \RR$ abbiamo:
\[
\chi_K (x,y,\zeta) = \begin{cases} 1 &\text{, se } (x,y,\zeta )\in K \\ 0 &\text{, se } (x,y,\zeta )\notin K\; , \end{cases}
\]
e da ciò segue che \(\chi_K(\cdot , \cdot , \zeta)\) è la funzione caratteristica dell'insieme:
\[
K(\zeta) := \big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ (x,y,\zeta) \in K\big\}
\]
che è la (proiezione sul piano $Oxy$ della) sezione del solido $K$ determinata dal piano di equazione $z=\zeta$, perciò abbiamo:
\[
u(\zeta ) := \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_{K(\zeta)} (x,y)\ \text{d}x\text{d}y = \operatorname{area} \big( K(\zeta)\big)\; .
\]
quindi la funzione $u$ rappresenta l'area della (proiezione sul piano $Oxy$ della) sezione $K(\zeta)$.
Lasciando libero $\zeta$ di variare, si capisce che la funzione $u$ descrive le aree di tutte le possibili sezioni di $K$ ottenute usando i piani del fascio ortogonale all'asse $z$ e da ciò segue che:
\[
\operatorname{vol} (K) = \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{area} \big( K(z)\big)\ \text{d}z\; .
\]

Dall'ultima formula per il volume segue immediatamente il Principio di Cavalieri, il quale afferma che due solidi $K$ e $K^\prime$ che staccano sui piani di un fascio improprio sezioni di uguale area hanno lo stesso volume.
Infatti se per ogni $z\in \RR$ si ha \(\operatorname{area} \big( K(z)\big) = \operatorname{area} \big( K^\prime (z)\big)\) è chiaro che:
\[
\operatorname{vol} (K) = \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{area} \big( K(z)\big)\ \text{d}z = \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{area} \big( K^\prime (z)\big)\ \text{d}z = \operatorname{vol} (K^\prime)\; .
\]