Dimostrazione minimo rapporto superficie/volume di una sefera
Buongiorno a tutti,
qualcuno saprebbe dirmi se l'affermazione : "la sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume" si può dimostrare/dedurre analiticamente o in altro modo?
Dai confronti con cubo e altre figure solide si può facilmente dimostrare ma onde evitare gli infiniti confronti.
Grazie mille e b.giornata,
s
qualcuno saprebbe dirmi se l'affermazione : "la sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume" si può dimostrare/dedurre analiticamente o in altro modo?
Dai confronti con cubo e altre figure solide si può facilmente dimostrare ma onde evitare gli infiniti confronti.
Grazie mille e b.giornata,
s
Risposte
Così come detta, la cosa è falsa.
Infatti, la "funzione":
\[
f(E):= \frac{\operatorname{area}(E)}{\operatorname{vol} (E)}
\]
è il rapporto di una funzione omogenea di grado $2$ e di una funzione omogenea di grado $3$, pertanto essa è una funzione omogenea di grado $-1$, cioè tale che:
\[
f(\lambda E) = \frac{\operatorname{area}(\lambda E)}{\operatorname{vol} (\lambda E)} = \frac{\lambda^2 \operatorname{area} (E)}{\lambda^3 \operatorname{vol} (E)} = \frac{1}{\lambda}\ \frac{\operatorname{area}(E)}{\operatorname{vol} (E)} = \frac{1}{\lambda} f(E)
\]
(qui $\lambda E$ è il solido ottenuto da $E$ mediante un'omotetia di rapporto $\lambda$), e ciò implica che la "funzione" $f$ non può avere un minimo positivo: invero, se per assurdo $f$ avesse minimo in $E^\star$, i.e. se risultasse:
\[
f(E)\geq f(E^\star) >0
\]
per ogni solido "sensato" $E$, dovremmo avere anche:
\[
\frac{1}{\lambda} f(E) = f(\lambda E) \geq f(E^\star)
\]
il che è assurdo, poiché la quantità al primo membro tende a zero quando $\lambda\to +\infty$.
La proprietà corretta è un'altra.
La sfera è il solido per il quale (a meno di traslazioni ed omotetie) è minimo il rapporto tra il cubo dell'area di superficie ed il quadrato del volume, i.e. per ogni solido $E\subseteq \RR^3$ "sensato" e per ogni sfera $B\subseteq \RR^3$ risulta:
\[
\frac{\operatorname{area}^3 (E)}{\operatorname{vol}^2 (E)}\geq 36\pi = \frac{\operatorname{area}^3 (B)}{\operatorname{vol}^2 (B)}
\]
La dimostrazione analitica di questa proprietà nello spazio è abbastanza difficile, più di quella analoga che coinvolge i cerchi e le figure piane.
Infatti, la "funzione":
\[
f(E):= \frac{\operatorname{area}(E)}{\operatorname{vol} (E)}
\]
è il rapporto di una funzione omogenea di grado $2$ e di una funzione omogenea di grado $3$, pertanto essa è una funzione omogenea di grado $-1$, cioè tale che:
\[
f(\lambda E) = \frac{\operatorname{area}(\lambda E)}{\operatorname{vol} (\lambda E)} = \frac{\lambda^2 \operatorname{area} (E)}{\lambda^3 \operatorname{vol} (E)} = \frac{1}{\lambda}\ \frac{\operatorname{area}(E)}{\operatorname{vol} (E)} = \frac{1}{\lambda} f(E)
\]
(qui $\lambda E$ è il solido ottenuto da $E$ mediante un'omotetia di rapporto $\lambda$), e ciò implica che la "funzione" $f$ non può avere un minimo positivo: invero, se per assurdo $f$ avesse minimo in $E^\star$, i.e. se risultasse:
\[
f(E)\geq f(E^\star) >0
\]
per ogni solido "sensato" $E$, dovremmo avere anche:
\[
\frac{1}{\lambda} f(E) = f(\lambda E) \geq f(E^\star)
\]
il che è assurdo, poiché la quantità al primo membro tende a zero quando $\lambda\to +\infty$.
La proprietà corretta è un'altra.
La sfera è il solido per il quale (a meno di traslazioni ed omotetie) è minimo il rapporto tra il cubo dell'area di superficie ed il quadrato del volume, i.e. per ogni solido $E\subseteq \RR^3$ "sensato" e per ogni sfera $B\subseteq \RR^3$ risulta:
\[
\frac{\operatorname{area}^3 (E)}{\operatorname{vol}^2 (E)}\geq 36\pi = \frac{\operatorname{area}^3 (B)}{\operatorname{vol}^2 (B)}
\]
La dimostrazione analitica di questa proprietà nello spazio è abbastanza difficile, più di quella analoga che coinvolge i cerchi e le figure piane.
Ciao, grazie mille per la risposta: quindi stai dicendo che l'affermazione: "la sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume" è sbagliata o non ha senso?
Intanto se prendo una sfera e un quadrato aventi lo stesso volume e confronto le loro superfici ottengo che il quadrato ha un'area maggiore di quella del quadrato.
E' possibile dire che questo valga per tutti i solidi?
Intanto se prendo una sfera e un quadrato aventi lo stesso volume e confronto le loro superfici ottengo che il quadrato ha un'area maggiore di quella del quadrato.
E' possibile dire che questo valga per tutti i solidi?
"sildi":
Ciao, grazie mille per la risposta: quindi stai dicendo che l'affermazione: "la sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume" è sbagliata o non ha senso?
Dico che non ha senso, perché la "funzione" \(f(E) := \frac{\operatorname{area}(E)}{\operatorname{vol}(E)}\) non può avere globalmente un minimo positivo, contro il fatto che $f(B)>0$ per ogni sfera.
"sildi":
Intanto se prendo una sfera e un quadrato aventi lo stesso volume e confronto le loro superfici ottengo che il quadrato ha un'area maggiore di quella del quadrato.
E' possibile dire che questo valga per tutti i solidi?
Quello che puoi dire è che, a parità di volume $V>0$, le sfere sono i solidi che minimizzano l'area della superficie, cioè che vale una disuguaglianza del genere:
\[
\operatorname{area}(E)\geq \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\ V^{3/2}= \operatorname{area}(B)
\]
per ogni solido $E$ e per ogni sfera $B$ tali che \(\operatorname{vol}(E) = V=\operatorname{vol}(B)\).
In altri temini, puoi ben dire che il problema di minimo vincolato:
\[
\begin{cases}
\text{minimizzare} &\operatorname{area}(E)\\
\text{sul vincolo} &\operatorname{vol} (E) = V\\
\text{con:} &E \text{ solido "sensato"}\\
&V>0
\end{cases}
\]
ha come soluzione tutte le sfere $B$ aventi volume $V$.
Da ciò, però, non puoi affatto trarre che, in generale, le sfere siano le soluzioni del problema di minimo libero:
\[
\begin{cases}
\text{minimizzare} &\frac{\operatorname{area}(E)}{\operatorname{vol}(E)}\\
\text{con:} &E \text{ solido "sensato"}\\
&\text{tale che } \operatorname{vol}(E)\neq 0
\end{cases}
\]
semplicemente perché l'omogeneità della "funzione" minimizzanda non ti consente di affermare che il minimo esista positivo.
Gazie nuovamente per la risposta.
Ho capito che la domanda all'inizio non era chiara.
Ok ho capito che posso ben dire che "a parità di volume V>0, le sfere sono i solidi che minimizzano l'area della superficie. La mia domanda inziale appunto era dimostrare la disuguaglianza \[ \operatorname{area}(E)\geq \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\ V^{3/2}= \operatorname{area}(B) \].
Esiste un modo per dimostrarla?E' chiaro che a parità di volume l'area di una sfera si può scrivere come \[ \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\ V^{3/2}= \operatorname{area}(B) \]. Ma come si può dimostrare la disuguagliaza? Chi midice che non esiste un solido con un area minore di quella trovata con lo stesso volume?Ossia come risolvo il problema di minimo vincolato che hai riportato?
Grazie,
Ho capito che la domanda all'inizio non era chiara.
Ok ho capito che posso ben dire che "a parità di volume V>0, le sfere sono i solidi che minimizzano l'area della superficie. La mia domanda inziale appunto era dimostrare la disuguaglianza \[ \operatorname{area}(E)\geq \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\ V^{3/2}= \operatorname{area}(B) \].
Esiste un modo per dimostrarla?E' chiaro che a parità di volume l'area di una sfera si può scrivere come \[ \frac{1}{6\sqrt{\pi}}\ V^{3/2}= \operatorname{area}(B) \]. Ma come si può dimostrare la disuguagliaza? Chi midice che non esiste un solido con un area minore di quella trovata con lo stesso volume?Ossia come risolvo il problema di minimo vincolato che hai riportato?
Grazie,
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo