Dimostrazione mediante definizione di "o" piccolo

[Tarab1]

Buon pomeriggio,
sono alle prese col seguente esercizio:

Sia f = o[x] x->0.
Dimostrare, mediante l'uso della definizione di "o piccolo", che f = o[sinx] per x->0 .

Avreste qualche suggerimento da darmi?
Io ho provato a risolverlo ma esce proprio il contrario, cioè la negazione della tesi.

Grazie.

[Paolo902]

Ehm, dunque, vediamo un po'.

Sia $f(x)=o(x) " per " x to 0$: stando ad una delle possibili definizioni di o-piccolo, questo equivale a dire $lim_(x to 0) (f(x))/x=0$. Vogliamo mostrare che $f(x)=o(sinx)$, cioè ancora una volta, $lim_(x to 0)f(x)/(sinx)=0$.

Un modo di procedere potrebbe essere questo: $lim_(x to 0) f(x)/(sinx)=lim_(x to 0) f(x)/x*x/sinx=0*1=0$.

Ti torna?

[Tarab1]

Mi torna per il fatto che il limite esce 0 e quindi è verificato.
Ma non mi torna quella x aggiunta a numeratore e denominatore.
Potresti spiegarmi, gentilmente, meglioquel passaggio?
Grazie.

[Paolo902]

Beh,

$a/b*b/c=a/c$.

[Tarab1]

Non mi sono spiegato...
Intendevo sapere perchè non si è scelto un valore di x opportunamente grande come x^2 così da dimostrare che il lim veniva, appunto, 0 ?
Sarebbe stata la stessa cosa?

[Paolo902]

Ah, scusa non avevo capito.

Noi dobbiamo mostrare che è un o piccolo di seno di x. La prima cosa che mi è venuta in mente era usare il limite notevole del seno, visto che siamo appunto in un intorno di zero.

Più chiaro ora?

[Tarab1]

Si ora si, grazie.