Dimostrazione limiti di successioni
Qualcuno sa come dimostrare questa proposizione per i limiti di successioni?
Sia $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1)/a_(n)) = l$ se $ 0<= l< 1 rArr \lim_{n \to \infty}(a_(n)) = 0 $
se invece $ l > 1 rArr \lim_{n \to \infty}(a_(n)) = oo$
Sia $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1)/a_(n)) = l$ se $ 0<= l< 1 rArr \lim_{n \to \infty}(a_(n)) = 0 $
se invece $ l > 1 rArr \lim_{n \to \infty}(a_(n)) = oo$
Risposte
Probabilmente bisogna aggiungere l'ipotesi $a_n>0$, giusto?
Si..hai ragione, scusami! L'avevo dimenticato!! 
Beh, iniziamo dicendo che $\lim_{n \to \infty}(a_(n)) = 0$ è la condizione necessaria per la convergenza.
Si potrebbe ragionare in questo modo:
Allora, se $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1)/a_(n)) =l$ con $ 0<= l< 1$ allora per la definizione di limite, per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_0$ tale che $(a_(n+1)/a_(n))n_0$.
Dato che $l<1$ scelgo $\epsilon$ tale che $M:=l+\epsilon<1$. Quindi ottengo che $(a_(n+1)/a_(n))n_0$, cioè la successione è strettamente decrescente per $n>n_0$.
Inoltre si ha che
$0
$00$
Dal teorema dei Carabinieri segue che anche $a_n->0$ per $n->+infty$.
Per il caso $ l > 1$ in modo analogo a sopra si ottiene
$a_(n+1)>M^nM^(1-n_0)a_(n0)$, il quale impedisce che si possa ottenere $\lim_(n->+infty)a_n=0$
Si potrebbe ragionare in questo modo:
Allora, se $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1)/a_(n)) =l$ con $ 0<= l< 1$ allora per la definizione di limite, per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_0$ tale che $(a_(n+1)/a_(n))
Dato che $l<1$ scelgo $\epsilon$ tale che $M:=l+\epsilon<1$. Quindi ottengo che $(a_(n+1)/a_(n))
Inoltre si ha che
$0
$0
Dal teorema dei Carabinieri segue che anche $a_n->0$ per $n->+infty$.
Per il caso $ l > 1$ in modo analogo a sopra si ottiene
$a_(n+1)>M^nM^(1-n_0)a_(n0)$, il quale impedisce che si possa ottenere $\lim_(n->+infty)a_n=0$
Dopo che hai dimostrato che la successione è strettamente decrescente puoi fare anche questo ragionamento alternativo:
Essendo monotona e a termini positivi, ammette limite $K$.
Allora
[tex]\displaystyle K=\lim_na_n=\lim_na_{n+1}=\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}a_n=\left(\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\left(\lim_na_n\right)=lK[/tex]
Da cui
[tex](l-1)K=0[/tex]
e quindi, visto che [tex]l<1[/tex], si ha che [tex]K=0[/tex]
Essendo monotona e a termini positivi, ammette limite $K$.
Allora
[tex]\displaystyle K=\lim_na_n=\lim_na_{n+1}=\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}a_n=\left(\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\left(\lim_na_n\right)=lK[/tex]
Da cui
[tex](l-1)K=0[/tex]
e quindi, visto che [tex]l<1[/tex], si ha che [tex]K=0[/tex]
"cirasa":
Dopo che hai dimostrato che la successione è strettamente decrescente puoi fare anche questo ragionamento alternativo:
Essendo monotona e a termini positivi, ammette limite $K$.
Allora
[tex]\displaystyle K=\lim_na_n=\lim_na_{n+1}=\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}a_n=\left(\lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\left(\lim_na_n\right)=lK[/tex]
Da cui
[tex](l-1)K=0[/tex]
e quindi, visto che [tex]l<1[/tex], si ha che [tex]K=0[/tex]
Scusa ma a questo punto, nel caso in cui$ l > 1$, avrei una successione monotona crescente che quindi ammette limite.
Analogamente quindi si avrebbe $K*(l-1) = 0$ questa volta però con $l > 1$, che ammette sempre $K = 0$ come soluzione. Quindi avrei in entrambi i casi lo stesso risultato?
"Rasteky":
Scusa ma a questo punto, nel caso in cui$ l > 1$, avrei una successione monotona crescente che quindi ammette limite.
Analogamente quindi si avrebbe $K*(l-1) = 0$ questa volta però con $l > 1$, che ammette sempre $K = 0$ come soluzione. Quindi avrei in entrambi i casi lo stesso risultato?
Giusto, in effetti avrei dovuto essere più preciso.
Nel caso della successione decrescente, la successione ammette limite [tex]K=\inf_na_n[/tex] che è certamente un numero finito non negativo.
Nell'altro caso, la successione ammette limite [tex]K=\sup_na_n[/tex] che è un numero finito strettamente positivo oppure [tex]+\infty[/tex].
Ma, visto che [tex](l-1)K=0[/tex] il primo caso è escluso. Quindi [tex]K=+\infty[/tex]
P.S. Pensandoci meglio, comunque l'argomentazione vista per provare che [tex](l-1)K[/tex] non sono certo che continui a valere, visto che si scrive il limite di una successione di prodotti come prodotto dei limiti delle due successioni. E questa cosa non è lecita, visto che i due limiti non sono entrambi finiti!
"cirasa":
[quote="Rasteky"]Scusa ma a questo punto, nel caso in cui$ l > 1$, avrei una successione monotona crescente che quindi ammette limite.
Analogamente quindi si avrebbe $K*(l-1) = 0$ questa volta però con $l > 1$, che ammette sempre $K = 0$ come soluzione. Quindi avrei in entrambi i casi lo stesso risultato?
Giusto, in effetti avrei dovuto essere più preciso.
Nel caso della successione decrescente, la successione ammette limite [tex]K=\inf_na_n[/tex] che è certamente un numero finito non negativo.
Nell'altro caso, la successione ammette limite [tex]K=\sup_na_n[/tex] che è un numero finito strettamente positivo oppure [tex]+\infty[/tex].
Ma, visto che [tex](l-1)K=0[/tex] il primo caso è escluso. Quindi [tex]K=+\infty[/tex]
P.S. Pensandoci meglio, comunque l'argomentazione vista per provare che [tex](l-1)K[/tex] non sono certo che continui a valere, visto che si scrive il limite di una successione di prodotti come prodotto dei limiti delle due successioni. E questa cosa non è lecita, visto che i due limiti non sono entrambi finiti![/quote]
Il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, quindi penso si possa fare
Sì, la catena di uguaglianze continua a valere, però sono solito andarci sempre con i piedi di piombo quando si tratta di prodotti fra limiti di cui uno è infinito.
Tieni conto che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti se i due limiti sono entrambi finiti.
Se uno dei due non è finito, è vero, ma a meno di forme indeterminate del tipo [tex]\infty\cdot 0[/tex].
Nel caso [tex]l>1[/tex], bisogna prestare un po' più di attenzione, ma l'argomentazione è sostanzialmente simile.
Tieni conto che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti se i due limiti sono entrambi finiti.
Se uno dei due non è finito, è vero, ma a meno di forme indeterminate del tipo [tex]\infty\cdot 0[/tex].
Nel caso [tex]l>1[/tex], bisogna prestare un po' più di attenzione, ma l'argomentazione è sostanzialmente simile.
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