Dimostrazione limite trigonometrico:

[Roslyn]

Voglio dimostrare che se $a_n->0$ allora $sin(a_n)->0$, Innanzitutto per definizione di limite ho che dato che $a_n$ converge a $ 0$ allora esiste un indice $v$ per cui $ |a_n|< pi/2 $per ogni$n>v$. (Perchè sceglie $pi/2$?ciò significa che da un certo indice in poi la mia successione è vicinissiva al valore$ pi/2$, quindi vicinissima allo$ 0$?) .Poi per tali valori di n ottengo che:
$0<=|sin(a_n)|=sin|(a_n)|<=|a_n|$ e per il Teorema dei Carabinieri ho che il $ sin$ ammete limite pari a $ 0$. (Ma il seno avendo come argomento una successione che tende a $pi/2$, non dovrebbe tendere anche lui a $ pi/2$?quindi avere come limite 1?)

[Zero87]

"Roslyn":Perchè sceglie $pi/2$?ciò significa che da un certo indice in poi la mia successione è vicinissiva al valore$ pi/2$, quindi vicinissima allo$ 0$?

Pay attention: $sin(\pi/2)=1$

"Roslyn":Poi per tali valori di n ottengo che:
$0<=|sin(a_n)|=sin|(a_n)|<=|a_n|$ e per il Teorema dei Carabinieri ho che il $ sin$ ammete limite pari a $ 0$. (Ma il seno avendo come argomento una successione che tende a $pi/2$, non dovrebbe tendere anche lui a $ pi/2$?quindi avere come limite 1?)

No, no, non tende a $\pi/2$...
Cerco anche di spiegare alla buona.
- Hai $a_n ->0$, per ipotesi.
- Il teorema da te citato di cui mi sfugge il nome dice che se una successione tende ad un certo limite $l$, dato un valore $\delta>0$ esiste un indice $\bar(n)$ per cui $a_n \in (l-\delta, l+\delta)$. Ora l'ho detto così, non ricordo quale libro lo espone così ma il succo è che se una successione tende a zero da un certo indice in poi starà in un intorno dello zero: è una cosa anche logica che dice che se tende a zero, da un certo indice in poi "non esce più" .
- Ora, quindi, sai che esiste un indice $\bar(n)$ tale per cui $|a_n|<\delta$ nel quale $\delta$ lo scegli tu e $\bar(n)$ viene di conseguenza (o è un se e solo se?!?).
- Quindi è lecitissimo dire $|a_n|<\pi/2$ e il $\pi/2$ è scelto per avere ad hoc qualche proprietà interessante del seno: in questo caso quella che utilizza dopo.

[Roslyn]

Quindi sceglie il valore $pi/2$ proprio per utilizzare la proprietà che dice che $0<=|sin(a_n)|=sin|(a_n)|<=|a_n|$ e per concludere che esso è proprio pari a $0$?

[Zero87]

"Roslyn":Quindi sceglie il valore $pi/2$ proprio per utilizzare la proprietà che dice che $0<=|sin(a_n)|=sin|(a_n)|<=|a_n|$ e per concludere che esso è proprio pari a $0$?

Sì, perché in quel caso vale la proprietà che utilizzi.

Ora, attenzione.
- Si poteva anche dire $|a_n|<1$ o $|a_n| < 0,001$ o quello che è... Ovviamente l'indice $\bar(n)$ per cui $\forall n\ge \bar(n)$ vale quanto si dice non è lo stesso nei vari casi (o almeno, praticamente mai è lo stesso)...
- Dire $|a_n|<(2\pi)/3$ andava bene uguale, così come $|a_n|<150000$ o altre astrusità perché $a_n ->0$. Solo che "andava bene" in linea teorica ma in pratica è inutile perché non sarebbe valsa la proprietà del seno che si sarebbe utilizzata poi.

Cioè, in generale, se $a_n ->l$ vale sempre che $a_n \in (l-\delta, l+\delta)$ scelto un $\delta>0$ da cui un opportuno indice $\bar(n)$ che dipende proprio dal delta. Poi, però, con un po' di furbizia va scelto quel $\delta$: nel nostro caso si sceglie un ramo "iniettivo" del seno per cui vale quell'interessante proprietà.

Come detto nel post precedente, però, non ricordo se il teorema da te citato era "se $\delta$ allora esiste $\bar(n)$" oppure "se $\bar(n)$ allora esiste $\delta$" o un se e solo se. Propendo, però, per la prima ipotesi.

PS. [size=80]Le successioni le ho fatte 6 anni fa quindi non perdere di vista questo thread perché non escludo che potrebbe arrivare qualcuno a correggere qualche mia imperfezione . Sempre se c'è...[/size]

[Roslyn]

Ti ringrazio!! il mio dubbio principale era perchè scegliere proprio quella quantità, e in effetti ragionando è un'azione "furba" che permette di ricavarmi il limite notevole del seno.