Dimostrazione limite notevole

[Frasandro]

ho calcolato il seguente limite $ lim_(x -> 0) log[1+sin(x)]/sin(x) $ sfruttando il limite notevole $ lim_(x -> 0) log[1+f(x)]/f(x)=1 $ ; ma come dovrei dimostrarlo?

[francicko]

Non capisco qual'e' il problema, essendo che per $x->0$ $sinx->0$, sei nelle condizioni del limite notevole $lim_(t->0)log (1+t)/t=1$, dove $t=sinx $

[Frasandro]

"francicko":..... sei nelle condizioni del limite notevole $ lim_(t->0)log (1+t)/t=1 $, dove $ t=sinx $

ok, ma questo lo devo dimostrare e lo dimostro così facendo:

$ lim_(t->0)log (1+t)^(1/t)=1$ ; Pongo adesso $ z=1/t $ . Per \( t\longrightarrow 0, z\rightarrow \infty \) , quindi il limite diventa $ lim_(z\rightarrow \infty \)log (1+1/z)^z=log e=1$

Può andare come dimostrazione ?

[francicko]

forse ho capito cosa intendi: essendo il logaritmo in base $e$, ed avendosi $lim_(t->0)(1+t)^(1/t)=e$, ed $lim_(t->0)((1+t)^(1/t))^t=lim_(t->0)(1+t)=lim_(t->0)e^t=e^0=1$, da qui puoi osservare che man mano che $t->0$ la quantita' $e^t$ tende ad avvicinarsi al limite $1$ approssimandosi alla quantita $1+t$ cio' si esprime dicendo che $1+t$ e' asintotico ad $e^t$,
pertanto $log(1+t)$ risulta asintotico a $t$, quindi $lim_(t->0)log(1+t)/t=1$