Dimostrazione Limite Notevole
Per $b in RR$ il limite notevole $\lim_{n \to \infty}root(n) (n^b)=1$
si dimostra così:
Esaminiamo preliminarmente il caso $b=1/2$. Poniamo $b_n=root(n) (n^b)-1>=0$. Utiliziamo la disuguaglianza di Bernoulli e otteniamo:
$sqrt (n)=(1+b_n)^n>=1+nb_n$
$sqrt (n)=(1+root(n) (n^b)-1)^n>=1+nb_n$
Abbiamo poi
$sqrt(n)=sqrt(n)>=1+nb_n$
Facendo i vari passaggi abbiamo:
$(sqrt(n)-1)/n>=b_n>=0$
La prima $\to 0$ e per il Teorema dei Carabinieri anche $b_n \to 0$, cioè $root(n) (n^(1/2)) \to 1$
Fino a qui ho capito la dimostrazione, il problema sono le domande che chiede che mi hanno bloccato:
1) Perché si è scelto il valore $b=1/2$? Io non ne ho idea, pensavo fosse solo un esempio e che valesse anche per altri $b$.
2) La dimostrazione proposta non funziona se si sceglie $b=1$; perché? Ho riprovato la dimostrazione con $b=1$ e ho avuto:
Pongo $b_n=root(n) (n)-1>=0$
Disuguaglianza di Bernoulli
$n=(1+root(n) (n)-1)^n>=1+nb_n$
$n=n>=1+nb_n$
Dopo i vari passaggi:
$(n-1)/n>=b_n>=0$
$1-1/n>=b_n>=0$
$1/n \to 0$ e quindi avrei $1>=b_n>=0$
E quindi non funziona con $b=1$. Il problema è che non ho capito perché non funziona.
3)Quali altri valori di b, oltre $b=1/2$, possono essere scelti in modo che la dimostrazione funzioni?
Credo che per sapere questa bisogna capire le altre 2.
Vi chiedo di aiutarmi a capire almeno la prima domanda, sperando che riesca a rispondere alle altre capendo la prima.
si dimostra così:
Esaminiamo preliminarmente il caso $b=1/2$. Poniamo $b_n=root(n) (n^b)-1>=0$. Utiliziamo la disuguaglianza di Bernoulli e otteniamo:
$sqrt (n)=(1+b_n)^n>=1+nb_n$
$sqrt (n)=(1+root(n) (n^b)-1)^n>=1+nb_n$
Abbiamo poi
$sqrt(n)=sqrt(n)>=1+nb_n$
Facendo i vari passaggi abbiamo:
$(sqrt(n)-1)/n>=b_n>=0$
La prima $\to 0$ e per il Teorema dei Carabinieri anche $b_n \to 0$, cioè $root(n) (n^(1/2)) \to 1$
Fino a qui ho capito la dimostrazione, il problema sono le domande che chiede che mi hanno bloccato:
1) Perché si è scelto il valore $b=1/2$? Io non ne ho idea, pensavo fosse solo un esempio e che valesse anche per altri $b$.
2) La dimostrazione proposta non funziona se si sceglie $b=1$; perché? Ho riprovato la dimostrazione con $b=1$ e ho avuto:
Pongo $b_n=root(n) (n)-1>=0$
Disuguaglianza di Bernoulli
$n=(1+root(n) (n)-1)^n>=1+nb_n$
$n=n>=1+nb_n$
Dopo i vari passaggi:
$(n-1)/n>=b_n>=0$
$1-1/n>=b_n>=0$
$1/n \to 0$ e quindi avrei $1>=b_n>=0$
E quindi non funziona con $b=1$. Il problema è che non ho capito perché non funziona.
3)Quali altri valori di b, oltre $b=1/2$, possono essere scelti in modo che la dimostrazione funzioni?
Credo che per sapere questa bisogna capire le altre 2.
Vi chiedo di aiutarmi a capire almeno la prima domanda, sperando che riesca a rispondere alle altre capendo la prima.
Risposte
Per \(b=0\) la cosa è banale.
Per \(b\neq 1/2,0\), hai:
\[
\sqrt[n]{n^b} = \sqrt[n]{n^{2b/2}}= \left(\sqrt[n]{n^{1/2}}\right)^{b/2}\; ;
\]
sicché:
\[
\lim_n \sqrt[n]{n^b} = \lim_n \left(\sqrt[n]{n^{1/2}}\right)^{b/2} = \left(\lim_n \sqrt[n]{n^{1/2}}\right)^{b/2} =1^{b/2} =1\; .
\]
Quindi puoi prendere tutti i valori di \(b\) reali che vuoi e la tua relazione di limite continua a valere.
Per la seconda questione, la dimostrazione non funziona perché la stima \(0\leq b_n\leq 1-1/n\) non ti consente di tirare fuori nulla usando il teorema dei carabinieri.
Per \(b\neq 1/2,0\), hai:
\[
\sqrt[n]{n^b} = \sqrt[n]{n^{2b/2}}= \left(\sqrt[n]{n^{1/2}}\right)^{b/2}\; ;
\]
sicché:
\[
\lim_n \sqrt[n]{n^b} = \lim_n \left(\sqrt[n]{n^{1/2}}\right)^{b/2} = \left(\lim_n \sqrt[n]{n^{1/2}}\right)^{b/2} =1^{b/2} =1\; .
\]
Quindi puoi prendere tutti i valori di \(b\) reali che vuoi e la tua relazione di limite continua a valere.
Per la seconda questione, la dimostrazione non funziona perché la stima \(0\leq b_n\leq 1-1/n\) non ti consente di tirare fuori nulla usando il teorema dei carabinieri.
La dimostrazione quindi si può fare solo con $b=1/2$? Perché da quello che hai scritto capisco che qualsiasi $b$ metto va bene per risolvere il limite ma non per dimostrarlo(dato che con $1$ non va).
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