Dimostrazione limite n/0

[LoreT314]

Ciao a tutti, sto tentando per esercizio e per curiosità di dimostrare le varie "forme determinate dei limiti"
Vorrei capire se il tipo di approccio che sto usando è corretto o la dimostrazione non sta in piedi, dato che non ho trovato risultati in rete.
Ad esempio proviamo a dimostrare che dati
$ lim_(x -> x_0)f(x)=l\inRR, l>0 $ e $ lim_(x -> x_0)g(x)=0 $
si ha che $ lim_(x -> x_0)f(x)/g(x)=+infty $
Io ho ragionato cosi
Per ipotesi si ha che
$ AA epsilon >0 $ (in particolare per gli $epsilon$ piccoli quindi dato che $l$ è positivo posso dire)
$ AA epsilon: 00: AAx in D_1: 0<|x-x_0| e

$ AA epsilon: 00: AAx in D_2: 0<|x-x_0| Ora sia $delta=min{delta_1,delta_2}$
Posso quindi dire che
$ f(x)/g(x)> (-epsilon+l)/epsilon>2l/epsilon $
Ho quindi trovare un $delta$ tale che rende il rapporto più grande di una quantità positiva arbitrariamente grande.
Ora non so se tutto ciò sta in piedi, c'è un piccolo errore, o è cannata proprio di principio
se qualcuno mi saprebbe dire la sua ne sarei molto grato

[gugo82]

Il teorema che vuoi dimostrare è falso.

Esercizio: trova un controesempio.

[LoreT314]

Giustamente hai ragione, non ci avevo pensato
In particolare data $f(x)=x+1$ e $g(x)=x^3$ si ha che il limite con $x_0=0$ addirittura non esiste
Dovrei di conseguenza aggiungere la condizione $g(x)>0$ in un intorno bucato di $x_0$
Grazie, provo a rifarlo e posto poi ciò che riesco a fare.
Giusto per capire, dato che ho dimostrato una cosa falsa , dove sta l'errore nella dimostrazione?

[dissonance]

"LoreT314":
Posso quindi dire che
$ f(x)/g(x)> (-epsilon+l)/epsilon>2l/epsilon $

Qui hai sbagliato. Nel passaggio precedente avevi \(|g(x)|<\epsilon\), e adesso, implicitamente, lo hai fatto diventare \(0

Cita

Segnala

[LoreT314]

Quindi semplicemente aggiungendo la condizione che G sia positiva In un intorno bucato la dimostrazione risulta corretta?

[dissonance]

Si. Con quella condizione, hai dimostrato che "\(l/0^+=\infty\)", per intenderci (non amo questo tipo di scrittura).

[LoreT314]

Ok grazie mille, ora provo anche a fare con segno negativo e con segno variabile della G