Dimostrazione limite $a^n $

[Roslyn]

Nell'intento di dimostrare il $\lim_{n \to \infty}a^n$ nei vari casi, rimango bloccata in un sottocaso. Innanzitutto in un primo caso il limite è $+∞$ se $a>1$, e ciò si dimostra banalmente grazie alla disuguaglianza di Bernoulli. Nel secondo caso il limite è $0$ se $-11$ (da questo punto in poi non capisco più nulla) e quindi dal caso già trattato si ottiene:
$\lim_{n \to \infty}|a^n|$=$\lim_{n \to \infty}1/(1/| a |)^n$ $=0$ (mi spiegate passo passo i vari procedimenti logici?)

[Zero87]

Andiamo con ordine .

"Roslyn":Se $a$ è diverso da$ 0$ e compreso tra $-1ed 1$ otteniamo $ 0< | a |<1$ (perchè maggiore di 0?)

$|a|>0$ perché dici $a\ne 0$ e il resto è perché il modulo restituisce una quantità non negativa (e non nulla dato che $a\ne 0$).

"Roslyn":$| a |$e ottiene: $1/| a |>1$ (da questo punto in poi non capisco più nulla) e quindi dal caso già trattato si ottiene:
$\lim_{n \to \infty}|a^n|$=$\lim_{n \to \infty}1/(1/| a |)^n$ $=0$ (mi spiegate passo passo i vari procedimenti logici?)

$\frac{1}{|a|}>1$ perché $|a|<1$ (dovrebbe essere abbastanza chiaro, sennò richiedi se mi sbaglio).
Per il resto il limite tende a zero perché al denominatore c'è una successione che tende a $+\infty$ (passandola al denominatore, il tutto è un infinitesimo)...
... L'ho detto "alla meglio", ma spero che si è capito!

[Roslyn]

Ho capito quasi tutto! Diciamo che non capisco il passaggio tra $\lim_{n \to \infty}|a^n|$=$\lim_{n \to \infty}1/(1/| a |)^n$ come fa a venire $1/(...)^n$

[Roslyn]

Nessuna anima pia che possa aiutarmi? =(

[Noisemaker]

sei convinta di quest'uguaglianza?

\begin{align*}
4^2=\frac{1}{\frac{1}{4^2}}
\end{align*}

[Roslyn]

Certo. Quindi $|a^n|$= $(1/|a|)^n$ --> --->$1/(1/|a|)^n$ .. giusto così?

[Noisemaker]

credo sia cosi ...
\[|a^n|=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{|a|^n}}=\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{|a| }\right)^n}\]

[Roslyn]

Giusto! Grazie mille!