Dimostrazione Limite
Siano $a_n, b_n$ due successioni tali che $a_n>=0, b_n>=0, AAn$. Dimostrare che:
$lim{n \to \infty}(a_n+b_n)=0 => lim{n \to \infty}a_n=0, lim{n \to \infty}b_n=0$
Per prima cosa applico la definizione di limite alla successione $a_n+b_n.$
$ AA \epsilon>0, EE \upsilon : |a_n+b_n|<\epsilon, AAn>\upsilon $
Dato che $a_n<=|a_n+b_n|<\epsilon$ allora $a_n<\epsilon$. Questa è l'unica cosa che mi viene in mente, ma dato che non è in valore assoluto non significa che $a_n \to 0$ o sbaglio? Ho fatto un esercizio simile solo che $a_n$ e $b_n$ erano $|a_n|$ e $|b_n|$ e quindi usando la disuguaglianza di prima mi trovavo $|a_n|<\epsilon$. Questo esercizio, infatti, mi dice che si svolge come quello e dice che è un caso particolare, ma non capisco cosa devo fare.
$lim{n \to \infty}(a_n+b_n)=0 => lim{n \to \infty}a_n=0, lim{n \to \infty}b_n=0$
Per prima cosa applico la definizione di limite alla successione $a_n+b_n.$
$ AA \epsilon>0, EE \upsilon : |a_n+b_n|<\epsilon, AAn>\upsilon $
Dato che $a_n<=|a_n+b_n|<\epsilon$ allora $a_n<\epsilon$. Questa è l'unica cosa che mi viene in mente, ma dato che non è in valore assoluto non significa che $a_n \to 0$ o sbaglio? Ho fatto un esercizio simile solo che $a_n$ e $b_n$ erano $|a_n|$ e $|b_n|$ e quindi usando la disuguaglianza di prima mi trovavo $|a_n|<\epsilon$. Questo esercizio, infatti, mi dice che si svolge come quello e dice che è un caso particolare, ma non capisco cosa devo fare.
Risposte
Ricorda che le due successioni sono sempre non negative quindi $|a_{n}|=a_{n}$
Oh! Vero! Mi ero dimenticato! Ero troppo preso dall'esercizio precedente che non ci ho fatto caso.
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