Dimostrazione lemma trasf. Laplace

[Uomosenzasonno]

Non riesco a capire la dimostrazione di questo lemma:

Sia $f in L'_(loc) ([0,+oo[)$, $f(t) = 0 in [-oo,0[ $ e $f$ assolutamente L-trasformabile in $s_0 in C$. Allora $f$ è assolutamente L-trasformbaile in $s in C $ t.c. $ Re{s}>Re{s_0}$.

DIM:

La dimostrazione è conseguenza immediata ( ) della maggiorazione.....

$|e^(-st)f(t)| = e^(-(Re{s}-Re{s_0})t)|e^(-s_0t)f(t)| <= |e^(-s_0t)f(t)|$ *

Qualcuno me la spiega per farvore? Cioè dato che l'ultimo termine della * converge per definizione, in questo modo ho capito che converge anche il primo. Non ho capito quel passaggio intermedio però.. mah

Grazie...

[Ska1]

$|\int_0^{+\infty} f(t) e^{-st} dt| \le \int_0^{+\infty} |f(t) e^{-st}| dt = \int_0^{+\infty} e^{-Re{s} t}|f(t)| dt = $ $\int_0^{+\infty} e^{-(Re{s} -Re{s_0} + Re{s_0}) t} |f(t)| dt \le \int_0^{+\infty} e^{-Re{s_0} t} |f(t)| dt = \int_0^{+\infty} |e^{-s_0 t} f(t)| dt$ e per ipotesi hai che $\int_0^{+\infty} |e^{-s_0 t} f(t)| dt < \infty$ dato che assumi che $f$ sia assolutamente $L$-trasformabile per $ s=s_0$. Inoltre considerando $t\in[0,+\infty)$ si ha $e^{-(Re{s} -Re{s_0}) t} <= 1$ dato che $Re{s} > Re{s_0}$ e questo è alla base della maggiorazione usata nella dimostrazione.

[Uomosenzasonno]

azz... quanto mi sento ignorante...

Grazie cmq!