Dimostrazione lemma sulla divergenza dei polinomi complessi - Analisi II
Buongiorno, ho delle difficoltà a capire la dimostrazione seguente lemma (che si usa poi per dimostrare il th. fondamentale dell'algebra): "se $p: \CC rarr \CC$ è non costante $rArr lim_(z -> oo) p(z)=oo$".
Fino ad ora ero abituato a vedere questa dimostrazione:
Posto $p(z)=sum_(i = 0)^(n) a_iz^i=z^n(a_n+a_(n-1)/z+...+a_0/z^n)$. Poichè $z rarr oo rArr z^k rarr oo$ per ogni $k>0$. Abbiamo adesso che $1/z rarr 0$ e dunque il termine in parentesi tende ad $a_n != 0$, poichè tutto il resto è infinitesimo. A questo punto dato che $z^n rarr oo$ (e $a_n$ è un numero), $p(z)$ diverge.
Questa dimostrazione comunque non è accettata dal professore e ne serve una che utilizza la definizione di divergenza di limite per mostrare che il termine in parentesi tende ad $a_n$ e serve il th. della permanenza del segno per dimostrare che $z^na_n$ diverge. Il problema è che questa dimostrazione non riesco proprio a capirla nè tanto meno a trovarla per intero. Sapreste aiutarmi?
Vi scrivo qualche passaggio della dimostrazione, non so quanto siano giusti o se abbiano un senso/filo logico.
Definizione di divergenza di limite (ciò che quindi voglio provare): \( \forall \varepsilon \) \( \exists\delta : \) $AA z in \CC$, $|z|>delta rArr |a_k/z^k|<$ \( \varepsilon \). Quindi vogliamo che (passando ai reciproci) $|z^k|>$ \( \frac{a_k}{\varepsilon} \) e questo sarà proprio il $delta$ che cercavamo.
Adesso scegliamo \( \varepsilon \)$=|a_n|/2$ (qui probabilmente siamo già all'utilizzo della permanenza del segno) e abbiamo che $|a_n|+$\( \varepsilon \)$>|a_n+a_(n-1)/z+...+a_0/z^n|>|a_n|-$\( \varepsilon \). Dunque otteniamo che $p(z)=|z^n||a_n+a_(n-1)/z+...+a_0/z^n|>|a_n|/2|z|^n$ e per il th. del confronto diverge.
Fino ad ora ero abituato a vedere questa dimostrazione:
Posto $p(z)=sum_(i = 0)^(n) a_iz^i=z^n(a_n+a_(n-1)/z+...+a_0/z^n)$. Poichè $z rarr oo rArr z^k rarr oo$ per ogni $k>0$. Abbiamo adesso che $1/z rarr 0$ e dunque il termine in parentesi tende ad $a_n != 0$, poichè tutto il resto è infinitesimo. A questo punto dato che $z^n rarr oo$ (e $a_n$ è un numero), $p(z)$ diverge.
Questa dimostrazione comunque non è accettata dal professore e ne serve una che utilizza la definizione di divergenza di limite per mostrare che il termine in parentesi tende ad $a_n$ e serve il th. della permanenza del segno per dimostrare che $z^na_n$ diverge. Il problema è che questa dimostrazione non riesco proprio a capirla nè tanto meno a trovarla per intero. Sapreste aiutarmi?
Vi scrivo qualche passaggio della dimostrazione, non so quanto siano giusti o se abbiano un senso/filo logico.
Definizione di divergenza di limite (ciò che quindi voglio provare): \( \forall \varepsilon \) \( \exists\delta : \) $AA z in \CC$, $|z|>delta rArr |a_k/z^k|<$ \( \varepsilon \). Quindi vogliamo che (passando ai reciproci) $|z^k|>$ \( \frac{a_k}{\varepsilon} \) e questo sarà proprio il $delta$ che cercavamo.
Adesso scegliamo \( \varepsilon \)$=|a_n|/2$ (qui probabilmente siamo già all'utilizzo della permanenza del segno) e abbiamo che $|a_n|+$\( \varepsilon \)$>|a_n+a_(n-1)/z+...+a_0/z^n|>|a_n|-$\( \varepsilon \). Dunque otteniamo che $p(z)=|z^n||a_n+a_(n-1)/z+...+a_0/z^n|>|a_n|/2|z|^n$ e per il th. del confronto diverge.
Risposte
Beh, cosa non capisci? Come si dimostra quella proprietà?
"solaàl":
Beh, cosa non capisci?
I passaggi scritti nella seconda dimostrazione li ho presi così come sono scritti e li ho riportati. Non riesco a capirne i collegamenti, da dove provengano certe "cose"...
Insomma non riesco a capire la dimostrazione nell'insieme, il suo filo logico, da dove parte a dove finisce.
La permanenza del segno non c'entra nulla.
Vengono usati la definizione di limite ed il teorema del confronto.
Vengono usati la definizione di limite ed il teorema del confronto.
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