Dimostrazione lemma di Fatou

[GianlucaN2]

Salve, non riesco a procedere nella dimostrazione del famoso lemma di Fatou.
Siamo sullo spazio di misura $(Omega,Sigma,mu)$
Come sappiamo , se $ {f_n }_(n in N)$ è una successione di funzioni non negative, intgrabili, allora $"lim inf"_(n->oo) f_n(x) -= f(x) $ è misurabile e $"lim inf"_(n->oo)" int_Omega f_n(x) mu(dx) >= int_Omega f(x) mu(dx)$

Per provare il primo punto il testo cui mi sto riferendo (Lieb & Loss Analisys vol. 14) utilizza il fatto che gli insiemi di livello della funzione $"inf"_(k>=n){ f_k(x)} $ sono misurabili grazie alla seguente uguaglianza di insiemi:

$ {x in Omega : "inf"_(k>=n) f_k(x) >= t } = nn_(k>=n) {x in Omega : f_k(x) >=t } $ per t reale fissato

Forse è una banalità ma non riesco proprio a capire perche questi due insiemi debbano coincidere.

[gugo82]

Sembra immediato.

Chiamiamo [tex]$T_n$[/tex] l'insieme al primo membro e [tex]$T_{k,n}$[/tex] ogni fattore dell'intersezione al secondo membro.
Se [tex]$x\in T_n$[/tex], cioè se [tex]$\inf_{k\geq n} f_k(x)\geq t$[/tex], allora per ogni [tex]$k\geq n$[/tex] si ha [tex]$f_k(x)\geq t$[/tex] ergo [tex]$x$[/tex] sta in tutti i [tex]$T_{n,k}$[/tex] con [tex]$k\geq n$[/tex]; conseguentemente [tex]$T_n\subseteq \cap_{k\geq n} T_{n,k}$[/tex].
Viceversa, se [tex]$x$[/tex] sta in ogni [tex]$T_{n,k}$[/tex] per [tex]$k\geq n$[/tex] allora si ha [tex]$f_k (x)\geq t$[/tex] e conseguentemente [tex]$\inf_{k\geq n} f_k(x)\geq t$[/tex]; ergo [tex]$\cap_{k\geq n} T_{n,k}\subseteq T_n$[/tex].
L'uguaglianza segue dal raffronto delle due inclusioni.