Dimostrazione Lagrange e Cauchy

[valerio71]

Ciao, non riesco a capire come vengono dimostrati questi due teoremi sulle dispense del Professore.

Lagrange per una funzione continua in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, si dimostra che $f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$

Viene introdotta la funzione $h(x)$ :
$h(x) = f(x) - (f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)$

Ho capito che la funzione soddisfa il teorema di Rolle e quindi $h(b) = h(a) = f(a)$ e quindi ci sarà un $c$ tale che $f'(c) = 0$, ma da quest'ultima affermazione passa subito a $f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0$ cioè la tesi.


Non riesco a capire come fa quest'ultimo passaggio, usa poi la medesima "tecnica" per Cauchy.

[kobeilprofeta]

$h'(x)=f'(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, $h'(c)=f'(c)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Se $h$ soddisfa Rolle, avrò $c t.c. h'(c)=0$, quindi t.c. $f'(c)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$, cioè $f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, che è la tesi

[valerio71]

Il termine $(x-a)$ a destra che moltiplica che fine fa? Diventa $(c-a)$ ma non capisco come fa ad annullarsi...

[gugo82]

Qual è la derivata della funzione $h(x)$?
Calcolala esplicitamente...

[valerio71]

"gugo82":Qual è la derivata della funzione $h(x)$?
Calcolala esplicitamente...

Ah ok, quindi facendo la derivata di $(f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)$ rispetto ad $x$ ottengo proprio $(f(b) - f(a))/(b - a)$ in quanto il primo fattore è una costante (dato che derivo rispetto ad $x$) e ritorna come risultato in quanto la derivata di $x-a$ è 1, giusto?

[kobeilprofeta]

Sì

[valerio71]

Grazie!

[kobeilprofeta]

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